Dados vetores u=(2,2,3) ; v=(-1,1,-2) e w=(4, m, 5)
(a) Calcule m para que os vetores u, v e w sejam coplanares;
(b) Escreva w como uma combinação linear de u e v, isto é: encontre escalares reais alpha, beta tais que w=alpha u+beta v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(2,2,3), v=(-1,1,-2) e w=(4,m,5).
(a) Para serem coplanares, o produto misto (determinante das colunas) deve ser zero.
(b) Em seguida, com o m encontrado, escrevemos w como alphau+betav e resolvemos o sistema para alpha e beta.

Passo 2

O produto misto é
det 2 & -1 & 4 2 & 1 & m 3 & -2 & 5 =2l(1cdot5 - mcdot(-2)r) -(-1)l(2cdot5 - mcdot3r) +4l(2cdot(-2)-1cdot3r)
Calculando cada termo:
2(5+2m)+(10-3m)+4(-7) =10+4m+10-3m-28 =-8+m
Impondo zero para coplanaridade:
-8 + m = 0 Longrightarrow m = 8

Passo 3

Com
Isso gera o sistema
Somando as duas primeiras equações:
Substituindo em e satisfazem todas.

Resposta

(a) m = 8
(b) w = 3,u + 2,v.

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