Encontre um vetor ortogonal tanto à̀ u=(1,2,3) quanto à v=(1,0,1);

Passo 1

O enunciado pede um vetor ortogonal simultaneamente a u=(1,2,3) e a v=(1,0,1). Para isso vamos usar a condição de ortogonalidade, isto é, produto escalar zero, e resolver um sistema para um vetor genérico w=(x,y,z).

Passo 2

Seja w=(x,y,z). As condições de orthogonalidade são
wcdotu=0
wcdotv=0
ou seja
x+2y+3z=0
x+z=0

Passo 3

Da segunda equação segue
x+z=0implies x=-z
Substituindo em x+2y+3z=0
(-z)+2y+3z=0implies 2y+2z=0implies y=-z

Passo 4

Logo a solução geral é
w=z,(-1,-1,1)(zneq0)
Escolhendo z=1 fica
w=(-1,-1,1)

Resposta

Um vetor ortogonal a u e v é (-1,-1,1).

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