A quádrica de equação x y=-2 (em coordenadas cartesianas) possuirá qual equação em coordenadas esféricas?

Passo 1

Então, a gente tem a equação da gráfica xy = -2 no sistema de coordenadas cartesianas e precisa descobrir qual vai ser essa equação no sistema de coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas que conectam as coordenadas cartesianas (x, y, z) com as coordenadas esféricas (rho, phi, theta).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas esféricas para cartesianas. As fórmulas são:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
Aqui, rho é a distância do ponto até a origem, phi é o ângulo em relação ao eixo z, e theta é o ângulo no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos substituir x e y na equação original xy = -2 usando as fórmulas de conversão:
(rho sin phi cos theta)(rho sin phi sin theta) = -2

Passo 4

Multiplicando os termos, temos:
rho^2 sin^2 phi cos theta sin theta = -2

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Portanto, sin theta cos theta = 12 sin 2theta. Substituindo isso na equação:
rho^2 sin^2 phi cdot 12 sin 2theta = -2

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração:
rho^2 sin^2 phi sin 2theta = -4

Passo 7

Pronto! Agora temos a equação representando a mesma gráfica, mas no sistema de coordenadas esféricas.

Resposta

A equação da gráfica xy = -2 em coordenadas esféricas é:
rho^2 sin^2 phi sin 2theta = -4

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