A quádrica de equação
(em coordenadas cartesianas) possuirá qual equação em coordenadas esféricas?
Passo 1
Então, a gente tem a equação da gráfica
no sistema de coordenadas cartesianas e precisa descobrir qual vai ser essa equação no sistema de coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas que conectam as coordenadas cartesianas
com as coordenadas esféricas
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas esféricas para cartesianas. As fórmulas são:
Aqui,
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo em relação ao eixo
, e
é o ângulo no plano
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original
usando as fórmulas de conversão:
Passo 4
Multiplicando os termos, temos:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto,
. Substituindo isso na equação:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração:
Passo 7
Pronto! Agora temos a equação representando a mesma gráfica, mas no sistema de coordenadas esféricas.
Resposta
A equação da gráfica
em coordenadas esféricas é: