Dados os vetores a e b, decomponha a em uma componente paralela a b e uma ortogonal.
a=(-25,310) e b=(13,14).

Passo 1

O enunciado pede para decompor o vetor vec a em duas partes: uma componente paralela a vec b e outra ortogonal a vec b. O conteúdo é a projeção ortogonal de vetores usando produto escalar e depois calcular o complemento ortogonal.

Passo 2

A fórmula da projeção de vec a sobre vec b é
projvec b,vec a = vec a cdot vec bvec b cdot vec b,vec b
Vamos então calcular os produtos escalares:
vec a cdot vec b = (-25)cdot13 + 310cdot14 = -325 + 4340 = 4015.
vec b cdot vec b = 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.

Passo 3

O coeficiente da projeção é
vec a cdot vec bvec b cdot vec b = 4015365 = 11
Logo
projvec b,vec a = 11,vec b = 11,(13,14) = (143,154)

Passo 4

A componente ortogonal é o resto da decomposição, ou seja
vec aperp = vec a - projvec b,vec a = (-25,310) - (143,154) = (-168,156)

Resposta

Componente paralela a vec b: (143,154)
Componente ortogonal a vec b: (-168,156)

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