Dados os vetores v=(1,3,-5) e w=(4,-2,8), decomponha v como v=v1+v2, sendo v1 paralelo a w e v2 ortogonal aw.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(1,3,-5) como soma de um componente v1 paralelo a w=(4,-2,8) e de um componente v2 ortogonal a w. O conteúdo principal aqui é a projeção de um vetor sobre outro:
v1 será a projeção de v sobre w e v2=v-v1.

Passo 2

Para encontrar v1 usando projeção, precisamos dos produtos escalares vcdotw e wcdotw. Calculamos:
vcdotw =1cdot4+3cdot(-2)+(-5)cdot8 =4-6-40 =-42,
wcdotw =4^2+(-2)^2+8^2 =16+4+64 =84

Passo 3

A fórmula da projeção de v sobre w é
v1 =vcdotwwcdotw;w
Substituindo os valores obtidos:
v1 =-4284,(4,-2,8) =-tfrac12,(4,-2,8) =(-2,1,-4)

Passo 4

Agora o componente ortogonal v2 é
v2 =v-v1 =(1,3,-5)-(-2,1,-4) =(1+2,;3-1,;-5+4) =(3,2,-1)

Passo 5

Para conferir que v2 é ortogonal a w, verificamos
v2cdotw =3cdot4+2cdot(-2)+(-1)cdot8 =12-4-8 =0,
o que confirma a ortogonalidade.

Resposta

v1=(-2,1,-4)
v2=(3,2,-1)

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