Determine um vetor u unitário simultaneamente ortogonal aos vetores:
a) v=(1,2,3) e w=(1,-1,2)
b) v=(3,-1,2) e w=(4,-2,-1)

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário u tal que u seja ortogonal simultaneamente a dois vetores dados em R^3. O método geral é:
1. Calcular o produto vetorial desses dois vetores, que resulta num vetor perpendicular a ambos.
2. Normalizar esse vetor perpendicular, dividindo-o pela sua norma, para obter um vetor unitário.

Passo 2

Para o item (a), temos v=(1,2,3) e w=(1,-1,2). O produto vetorial é
vtimesw = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & -1 & 2 = (2cdot2 - 3cdot(-1)),i - (1cdot2 - 3cdot1),j + (1cdot(-1) - 2cdot1),k = (4+3,, - (2-3),, -1-2) = (7,1,-3)

Passo 3

Ainda no item (a), a norma de (7,1,-3) é
|,(7,1,-3)|;=;raiz7^2 + 1^2 +(-3)^2 ;=;raiz49 + 1 + 9 ;=;raiz59
Logo, um vetor unitário ortogonal a v e w é
u = pm 1raiz59,(7,1,-3)

Passo 4

Para o item (b), temos v=(3,-1,2) e w=(4,-2,-1). O produto vetorial é
vtimesw = i & j & k 3 & -1 & 2 4 & -2 & -1 = ((-1)(-1) - 2cdot(-2)),i - (3cdot(-1) - 2cdot4),j + (3cdot(-2) - (-1)cdot4),k = (1+4,, -(-3-8),, -6+4) = (5,11,-2)

Passo 5

Ainda no item (b), a norma de (5,11,-2) é
|,(5,11,-2)|;=;raiz5^2 + 11^2 +(-2)^2 ;=;raiz25 + 121 + 4 ;=;raiz150 ;=;5raiz6
Portanto, um vetor unitário ortogonal a v e w é
u = pm 15raiz6,(5,11,-2) = pm 1raiz150,(5,11,-2)

Resposta

(a) u=pm1raiz59,(7,1,-3)\n(b) u=pm1raiz150,(5,11,-2)

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