Uma matriz P é dita ortogonal se sua inversa P^-1 é igual a sua transposta P^t, isto é, P P^t=I Leftrightarrow P^-1=P^t. Verifique que a matriz P=1raiz6[cccraiz2 & raiz2 & raiz2 0 & raiz3 & raiz3 2 & -1 & -1] é ortogonal e que as colunas de P formam um conjunto ortonormal.

Passo 1

O enunciado define
P=1raiz6 raiz2 & raiz2 & raiz2 0 & raiz3 & raiz3 2 & -1 & -1
e pede para verificar que P é ortogonal ( P,P^t=I) e que suas colunas são ortonormais (produto interno de<aij).

Passo 2

Extraímos as colunas de P. Denotando vj a j-ésima coluna de P, temos
v1=1raiz6raiz202, v2=1raiz6raiz2raiz3-1, v3=1raiz6raiz2raiz3-1

Passo 3

Calculamos o produto interno entre v2 e v3:
v2cdot v3 =16l(raiz2cdotraiz2+raiz3cdotraiz3+(-1)cdot(-1)r) =16(2+3+1) =66=1

Passo 4

Um conjunto ortonormal exige vicdot vj=0 para ineq j. Aqui encontramos v2cdot v3=1neq0, ou seja, as colunas 2 e 3 são idênticas e não são ortogonais.

Passo 5

Como duas colunas de P não são ortogonais, não é verdade que P,P^t=I. Portanto, a matriz dada não é ortogonal e suas colunas não formam um conjunto ortonormal.
Resposta: Não é possível verificar a ortogonalidade porque, com os dados fornecidos, as colunas 2 e 3 coincidem, violando a condição de ortogonalidade.

Resposta

Não; a matriz fornecida NÃO é ortogonal nem tem colunas ortonormais.

Exercícios relacionados