Dados os vetores u=(2,4), v=(-1,1) e w=(-12,6), determinar a1 e a2 tais que w=a1 u+a2 v.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores u=(2,4), v=(-1,1) e w=(-12,6) e pede escalares a1 e a2 tais que
w = a1,u + a2,v
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores em R^2 e resolução de sistema linear.

Passo 2

Escrevemos a combinação e igualamos coordenadas:
2a1 - a2 = -12,
4a1 + a2 = 6

Passo 3

Resolvemos o sistema por substituição. Da primeira equação vem
a2 = 2a1 + 12
Substituindo na segunda:
4a1 + (2a1 + 12) = 6 implies 6a1 + 12 = 6 implies 6a1 = -6 implies a1 = -1

Passo 4

Com a1 = -1, obtemos
a2 = 2(-1) + 12 = 10
Confirmamos que
-1cdot(2,4) + 10cdot(-1,1) = (-2,-4) + (-10,10) = (-12,6) = w

Resposta

a1 = -1 e a2 = 10

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