Mostra as propriedades de soma e produto com um número real abaixo.
Para quaisquer vetores u e v e os números reais alpha e beta, mostra as propriedades abaixo:
ll alpha(beta u)=(alpha beta) u & (alpha+beta) u=alpha u+beta u alpha(u+v)=alpha u+alpha v & 1 u=u

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos quatro propriedades de escalares e vetores em R^n: associatividade de multiplicação por escalar, duas distributividades e a ação do escalar 1. Para isso, basta usar a definição de soma e produto por escalar em R^n: se
u=(u1,dots,un), v=(v1,dots,vn),
então
u+v=(u1+v1,dots,un+vn),
alpha u=(alpha u1,dots,alpha un)

Passo 2

Mostrando alpha(beta u)=(alphabeta)u:
alpha(beta u) =alphal(beta u1,dots,beta unr) =l(alpha(beta u1),dots,alpha(beta un)r) =l((alphabeta)u1,dots,(alphabeta)unr) =(alphabeta)u

Passo 3

Mostrando (alpha+beta)u=alpha u+beta u:
(alpha+beta)u =l((alpha+beta)u1,dots,(alpha+beta)unr) =l(alpha u1+beta u1,dots,alpha un+beta unr) =alpha u+beta u

Passo 4

Mostrando alpha(u+v)=alpha u+alpha v:
alpha(u+v) =alphal(u1+v1,dots,un+vnr) =l(alpha(u1+v1),dots,alpha(un+vn)r) =l(alpha u1+alpha v1,dots,alpha un+alpha vnr) =alpha u+alpha v

Passo 5

Mostrando 1,u=u:
1,u=(1cdot u1,dots,1cdot un)=(u1,dots,un)=u

Resposta

alpha(beta u)=(alphabeta)u
(alpha+beta)u=alpha u+beta u
alpha(u+v)=alpha u+alpha v
1,u=u

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