Mostra as propriedades de soma e produto com um número real abaixo.
Para quaisquer vetores u, v e w, mostra as propriedades abaixo:
ll u+v=v+u & (u+v)+w=u+(v+w) u+0=u & u+(-u)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em R^n com a adição definida componente a componente, valem as propriedades de comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inverso aditivo. Vamos usar que, para
u=(u1,dots,un), v=(v1,dots,vn), w=(w1,dots,wn),
temos por definição
u+v=(u1+v1,dots,un+vn)

Passo 2

(Comutatividade) Para cada i=1,dots,n vale ui+vi=vi+ui, pois a adição em R é comutativa. Logo
u+v=(u1+v1,dots,un+vn)=(v1+u1,dots,vn+un)=v+u

Passo 3

(Associatividade) Para cada i temos (ui+vi)+wi = ui+(vi+wi), pois a adição real é associativa. Assim
(u+v)+w = l((u1+v1)+w1,dots,(un+vn)+wnr)
= l(u1+(v1+w1),dots,un+(vn+wn)r)=u+(v+w)

Passo 4

(Elemento neutro) Seja 0=(0,dots,0). Então para cada i ui+0 = ui. Logo
u+0=(u1+0,dots,un+0)=(u1,dots,un)=u

Passo 5

(Inverso aditivo) Definimos -u = (-u1,dots,-un). Como ui+(-ui)=0 em R, segue
u+(-u) = (u1+(-u1),dots,un+(-un))=(0,dots,0)=0

Resposta

Com isso mostramos:
(a) u+v=v+u.
(b) (u+v)+w = u+(v+w).
(c) u+0 = u.
(d) u+(-u)=0.

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