Determine as coordenadas do vetor genérico do R^3 que seja ortogonal ao eixo z:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor genérico em R^3 que seja ortogonal ao eixo z. O conteúdo necessário é a definição de ortogonalidade via produto escalar.

Passo 2

Seja
v = (x,y,z)
um vetor qualquer de R^3 e seja
ez = (0,0,1)
o vetor diretor do eixo z.

Passo 3

Para que v seja ortogonal a ez, o produto escalar deve valer zero:
v cdot ez = xcdot0 + ycdot0 + zcdot1 = 0
Logo, da condição acima segue que
z = 0

Passo 4

Substituindo z=0 em v=(x,y,z), obtemos o vetor genérico ortogonal ao eixo z:
v = (x,y,0),
onde x e y são quaisquer números reais.

Resposta

O vetor genérico de R^3 ortogonal ao eixo z é
(x,y,0), x,yinR

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