Dados os vetores u=(2,1, m), v=(m+2,-5,2) e w=(2 m, 8, m), determinar o valor de m para que o vetor u+v seja ortogonal ao vetor w-u.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(2,1,m),
v=(m+2,-5,2) e
w=(2m,8,m)
e pede m tal que u+v seja ortogonal a w-u.
Conteúdo: vetores ortogonais se e só se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Calcular u+v e w-u:
u+v =(2 + (m+2),;1+(-5),;m+2) =(m+4,,-4,;m+2),
w-u =(2m-2,;8-1,;m-m) =(2m-2,;7,;0)

Passo 3

Escrever o produto escalar e igualar a zero:
(u+v)cdot(w-u) =(m+4)(2m-2)+(-4)cdot7+(m+2)cdot0 =0
Desenvolvendo,
2m^2-2m+8m-8-28=0 ;Longrightarrow; 2m^2+6m-36=0 ;Longrightarrow; m^2+3m-18=0

Passo 4

Resolver a equação quadrática m^2+3m-18=0:
m^2+3m-18=(m+6)(m-3)=0 ;Longrightarrow; m=-6ou m=3

Resposta

m=-6 ou m=3.

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