Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
T: R^2 R ; T(x, y)=x+y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2toR, T(x,y)=x+y
é uma transformação linear. Se for, devemos achar
  1. O núcleo de T (conjunto de vetores que vão em zero) e exibir uma base.
  2. A imagem de T (conjunto de valores que T atinge) e exibir uma base.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e escalar lambdainR:
  1. Aditividade:
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) = T(x1+x2,,y1+y2) = (x1+x2)+(y1+y2) = (x1+y1)+(x2+y2) = T(x1,y1)+T(x2,y2)
  1. Homogeneidade:
Tl(lambda,(x1,y1)r) = T(lambda x1,lambda y1) = lambda x1+lambda y1 = lambda,(x1+y1) = lambda,T(x1,y1)
Como ambas valem, T é de fato uma transformação linear.

Passo 3

O núcleo de é
Da equação , os vetores do núcleo são . Logo
Uma base para é .

Passo 4

A imagem de T é o conjunto de todos os valores possíveis de x+y quando (x,y) varia em R^2. Dado qualquer zinR, basta escolher (x,y)=(z,0) para que T(z,0)=z. Assim
Im(T)=R
Como subespaço de R, uma base natural é 1.

Resposta

Sim, é linear.
, base do núcleo: .
, base da imagem: .

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