Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. Se for, devemos achar
- O núcleo de
(conjunto de vetores que vão em zero) e exibir uma base. - A imagem de
(conjunto de valores que atinge) e exibir uma base.
Passo 2
Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer
e escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como ambas valem,
é de fato uma transformação linear.
Passo 3
O núcleo de
é
Da equação
, os vetores do núcleo são
. Logo
Uma base para
é
.
Passo 4
A imagem de
é o conjunto de todos os valores possíveis de
quando
varia em
. Dado qualquer
, basta escolher
para que
. Assim
Como subespaço de
, uma base natural é
.
Resposta
Sim,
é linear.
, base do núcleo: .
, base da imagem:
.
, base do núcleo: