Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
e pede para decidir se é linear e, em caso afirmativo, determinar
,
e bases desses subespaços. O conteúdo aqui é definição de transformação linear, núcleo e imagem.
Passo 2
Verificamos aditividade e homogeneidade. Sejam
e
. Então
e
Logo,
é linear.
Passo 3
O núcleo é
Como
é sempre
, a condição é trivial e
Passo 4
A imagem é
Passo 5
Para
podemos escolher como base os vetores canônicos
Para
, que é o subespaço trivial, a base é o conjunto vazio
Resposta
A função
é linear.
, com base
.
, com base
.