Diga se a função dada é ou não uma transformação linear. Se o for, determine seu núcleo e sua imagem, exiba uma base para o núcleo e exiba também uma base para a imagem.
F: R^2 R^2 ; F(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Fcolon R^2toR^2, F(x,y)=(0,0),
e pede para decidir se é linear e, em caso afirmativo, determinar ker(F), Im(F) e bases desses subespaços. O conteúdo aqui é definição de transformação linear, núcleo e imagem.

Passo 2

Verificamos aditividade e homogeneidade. Sejam u,vinR^2 e cinR. Então
F(u+v)=F(u+v)=(0,0)=(0,0)+(0,0)=F(u)+F(v)
e
F(c,u)=(0,0)=c,(0,0)=c,F(u)
Logo, F é linear.

Passo 3

O núcleo é
ker(F)=,(x,y)inR^2mid F(x,y)=(0,0),
Como F(x,y) é sempre (0,0), a condição é trivial e
ker(F)=R^2

Passo 4

A imagem é
Im(F)=,F(x,y)mid(x,y)inR^2 =(0,0)

Passo 5

Para ker(F)=R^2 podemos escolher como base os vetores canônicos
(1,0),,(0,1)
Para Im(F)=(0,0), que é o subespaço trivial, a base é o conjunto vazio
varnothing

Resposta

A função F é linear.
ker(F)=R^2, com base (1,0),(0,1).
Im(F)=(0,0), com base varnothing.

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