Dados os vetores
u=lang<= 2,-3,4rang<=, v=-i+2 j-3 k, w=lang<= 3,-1,0rang<=
determine:
u cdot(v times w)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
u = lang<= 2, -3, 4 rang<=, v = -i + 2j - 3k, w = lang<= 3, -1, 0 rang<=
E queremos calcular o produto escalar de u com o produto vetorial de v e w, ou seja:
u cdot (v times w)
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular um produto vetorial e depois um produto escalar entre vetores.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto vetorial v times w. O produto vetorial de dois vetores em 3D resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é dada por:
v times w = i & j & k vx & vy & vz wx & wy & wz
Vamos substituir os componentes de v e w.

Passo 3

Substituindo os valores de v = lang<= -1, 2, -3 rang<= e w = lang<= 3, -1, 0 rang<= na matriz, temos:
v times w = i & j & k -1 & 2 & -3 3 & -1 & 0
Agora, vamos calcular o determinante.

Passo 4

Calculando o determinante:
v times w = i cdot (2 cdot 0 - (-3) cdot (-1)) - j cdot (-1 cdot 0 - (-3) cdot 3) + k cdot (-1 cdot (-1) - 2 cdot 3)
Simplificando cada parte:
i cdot (0 - 3) - j cdot (0 - (-9)) + k cdot (1 - 6) = -3i - 9j - 5k
Portanto:
v times w = lang<= -3, -9, -5 rang<=

Passo 5

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o produto escalar com u = lang<= 2, -3, 4 rang<=. A fórmula do produto escalar é:
u cdot a = ux ax + uy ay + uz az
Onde a = v times w = lang<= -3, -9, -5 rang<=.

Passo 6

Substituindo os valores:
u cdot a = (2)(-3) + (-3)(-9) + (4)(-5) = -6 + 27 - 20
Somando os termos:
-6 + 27 = 21; 21 - 20 = 1

Resposta

u cdot (v times w) = 1

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