Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime=x^2y(1+x^3), y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de primeira ordem com valor inicial
y' = x^2y,(1+x^3), y(0)=1
Este é um problema de variáveis separáveis: vamos separar y e x em lados opostos e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
y,dy = x^21+x^3,dx

Passo 3

Integre ambos os lados. No lado esquerdo,
integral y,dy = y^22
No lado direito, use a substituição u=1+x^3, du=3x^2dx, logo x^2dx = tfracdu3:
integral x^21+x^3,dx = 13integral duu = 13lnl|ur| + C = 13lnl(1+x^3r) + C
Então obtemos
y^22 = 13lnl(1+x^3r) + C

Passo 4

Multiplique por 2 e chame a constante de C1:
y^2 = 23lnl(1+x^3r) + C1
Use a condição y(0)=1:
1^2 = 23ln(1+0^3) + C1 Longrightarrow 1 = 0 + C1 Longrightarrow C1=1
Assim
y^2 = 1 + 23lnl(1+x^3r)
Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo da raiz.

Resposta

y(x) = raiz1 + tfrac23,lnl(1+x^3r)

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