Dados os vetores
u=lang<= 2,-3,4rang<=, v=-i+2 j-3 k, w=lang<= 3,-1,0rang<=
determine:
|u times v|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três vetores:
u = lang<= 2, -3, 4 rang<=, v = -i + 2j - 3k, w = lang<= 3, -1, 0 rang<=
E pede para a gente encontrar a magnitude do produto vetorial entre u e v, ou seja, |u times v|.
Vamos precisar usar o conceito de produto vetorial de dois vetores no espaço tridimensional e, depois, calcular a norma (ou magnitude) desse vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores a = lang<= a1, a2, a3 rang<= e b = lang<= b1, b2, b3 rang<=. O produto vetorial é dado por:
a times b = lang<= a2b3 - a3b2, , a3b1 - a1b3, , a1b2 - a2b1 rang<=
Então, vamos aplicar essa fórmula para os vetores u e v.

Passo 3

Vamos identificar os componentes dos vetores:
u = lang<= 2, -3, 4 rang<= Rightarrow u1 = 2, , u2 = -3, , u3 = 4
v = lang<= -1, 2, -3 rang<= Rightarrow v1 = -1, , v2 = 2, , v3 = -3
Agora, aplicamos a fórmula do produto vetorial:
u times v = lang<= u2v3 - u3v2, , u3v1 - u1v3, , u1v2 - u2v1 rang<=
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
u2v3 - u3v2 = (-3)(-3) - (4)(2) = 9 - 8 = 1
  1. Componente j:
u3v1 - u1v3 = (4)(-1) - (2)(-3) = -4 + 6 = 2
  1. Componente k:
u1v2 - u2v1 = (2)(2) - (-3)(-1) = 4 - 3 = 1
Então, o produto vetorial é:
u times v = lang<= 1, 2, 1 rang<=

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular a sua magnitude. A magnitude de um vetor a = lang<= a1, a2, a3 rang<= é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Aplicando isso ao nosso vetor u times v = lang<= 1, 2, 1 rang<=:
|u times v| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6

Resposta

A magnitude do produto vetorial entre u e v é raiz6.

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