Nos problemas 1 ao 9 , use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções de degrau unitário.
d yd t-1, y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação que relaciona a derivada de y(t) com uma constante, e a condição inicial que y(0) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como manipular as equações resultantes para encontrar y(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
dydt - 1 = 0
Isso simplifica para:
dydt = 1
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de dydt é sY(s) - y(0) , onde Y(s) é a transformada de Laplace de y(t) .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação dydt = 1 :
L dydt = L1
Substituindo pelas transformadas conhecidas:
sY(s) - y(0) = 1s
Como y(0) = 0 , a equação fica:
sY(s) = 1s

Passo 4

Agora, vamos resolver para Y(s) :
Y(s) = 1s cdot s = 1s^2
Essa é a expressão da transformada de Laplace da função y(t) .

Passo 5

Para encontrar y(t) , precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em Y(s) :
y(t) = L^-1 1s^2
Sabemos que L^-1 1s^2 = t .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = t

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