Nos problemas 1 ao 9 , use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções de degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O que temos aqui é uma equação que relaciona a derivada de
com uma constante, e a condição inicial que
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e como manipular as equações resultantes para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Isso simplifica para:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação
:
Substituindo pelas transformadas conhecidas:
Como
, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Essa é a expressão da transformada de Laplace da função
.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em
:
Sabemos que
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: