Dados os vetores u=(3,0,1) e v=(-1,1,2), determine Projv-u e Proju-v.

Passo 1

O enunciado pede a projeção de u=(3,0,1) sobre v=(-1,1,2) e a projeção de v sobre u. O conteúdo aqui é a projeção de um vetor em outro, cujo conceito usaremos via a fórmula
Projab = bcdota|a|^2,a

Passo 2

Primeiro calculamos o produto escalar e as normas ao quadrado:
ucdotv =3cdot(-1)+0cdot1+1cdot2 =-3+0+2=-1,
|v|^2 =(-1)^2+1^2+2^2 =1+1+4=6,
|u|^2 =3^2+0^2+1^2 =9+0+1=10

Passo 3

Agora usamos a fórmula para a projeção de u sobre v:
Projvu = ucdotv|v|^2,v = -16,(-1,1,2) = l(tfrac16,-tfrac16,-tfrac26r) = l(tfrac16,-tfrac16,-tfrac13r)

Passo 4

De modo análogo, projetamos v sobre u:
Projuv = ucdotv|u|^2,u = -110,(3,0,1) = l(-tfrac310,0,-tfrac110r)

Resposta

Projvu = l(tfrac16, -tfrac16, -tfrac13r)
Projuv = l(-tfrac310, 0, -tfrac110r)

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