Utilizar a inversão de matrizes para mostrar que:
a) A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão em torno desse eixo.
b) A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo.
c) A inversa de uma rotação do plano de um ângulo ө é a rotação do plano do ângulo - - .
8) Consideremos as seguintes bases do .
a) Determinar a matriz-mudança de base .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que para as transformações lineares do plano dadas por reflexão no eixo , dilatação num eixo e rotação de ângulo , a inversa delas é, respectivamente, reflexão no mesmo eixo, contração no mesmo eixo e rotação de ângulo . Para isso vamos usar a fórmula de inversão de matrizes : se
então
Em seguida, no item 8(a), queremos determinar a matriz-mudança de base [ I]B^A que leva coordenadas na base B para coordenadas na base A.
Passo 2
Reflexão no eixo x. A matriz dessa transformação é
Mref = 1 & 0[6pt]0 & -1
Calculamos det Mref = 1cdot(-1) - 0cdot0 = -1. Pelo fórmula de inversão,
ou seja, a rotação inversa é a rotação de ângulo -theta.]
Passo 5
Matriz-mudança de base [ I]B^A. Queremos a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em A. Suas colunas são as coordenadas dos vetores de B expressos na base A. Denotemos b1=(2,-3) e b2=(-3,5) e a base A=a1=(1,1),,a2=(0,-1).
Para b1 achamos alpha,beta tais que
de onde alpha=-3, alpha-beta=5Rightarrow beta=-8. Segunda coluna: -3-8.
Resposta
a) A inversa da reflexão no eixo x é ela mesma,
b) a inversa de uma dilatação de fator k num eixo é a contração de fator 1/k nesse eixo,
c) a inversa de uma rotação de ângulo theta é a rotação de ângulo -theta,