Utilizar a inversão de matrizes 2 times 2 para mostrar que:
a) A transformação linear inversa de uma reflexão em torno do eixo dos x é uma reflexão em torno desse eixo.
b) A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo.
c) A inversa de uma rotação do plano de um ângulo ө é a rotação do plano do ângulo - - .
8) Consideremos as seguintes bases do I R^2: A=(1,1),(0,-1) e B=(2,-3),(-3,5).
a) Determinar a matriz-mudança de base [I]B^A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que para as transformações lineares do plano dadas por reflexão no eixo x, dilatação num eixo e rotação de ângulo theta, a inversa delas é, respectivamente, reflexão no mesmo eixo, contração no mesmo eixo e rotação de ângulo -theta. Para isso vamos usar a fórmula de inversão de matrizes 2times2: se
M = a & b c & d,
então
M^-1 = 1det Md & -b -c & a com det M = ad - bc
Em seguida, no item 8(a), queremos determinar a matriz-mudança de base [ I]B^A que leva coordenadas na base B para coordenadas na base A.

Passo 2

Reflexão no eixo x. A matriz dessa transformação é
Mref = 1 & 0[6pt]0 & -1
Calculamos det Mref = 1cdot(-1) - 0cdot0 = -1. Pelo fórmula de inversão,
Mref^-1 = 1-1-1 & 0[3pt]0 & 1 = 1 & 0[3pt]0 & -1 = Mref
Logo, a reflexão no eixo x é sua própria inversa.]

Passo 3

Dilatação ao longo de um eixo. Sem perda de generalidade, considere dilatação no eixo x com fator kneq0:
Mdil = k & 0[3pt]0 & 1
Aqui det Mdil=k. A inversa é
Mdil^-1 = 1k1 & 0[3pt]0 & k = 1/k & 0[3pt]0 & 1,
que corresponde exatamente a uma contração de fator 1/k no eixo x.]

Passo 4

Rotação de ângulo theta. A matriz é
Mrot = costheta & -sintheta[3pt]sintheta & costheta,
com det Mrot = cos^2theta + sin^2theta = 1. Então
Mrot^-1 = costheta & sintheta[3pt]-sintheta & costheta =cos(-theta) & -sin(-theta)[3pt]sin(-theta) & cos(-theta),
ou seja, a rotação inversa é a rotação de ângulo -theta.]

Passo 5

Matriz-mudança de base [ I]B^A. Queremos a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em A. Suas colunas são as coordenadas dos vetores de B expressos na base A. Denotemos b1=(2,-3) e b2=(-3,5) e a base A=a1=(1,1),,a2=(0,-1).
Para b1 achamos alpha,beta tais que
alpha,a1 + beta,a2 = (2,-3) ;Longrightarrow; (alpha,;alpha-beta)=(2,-3)
de onde alpha=2, alpha-beta=-3Rightarrow beta=5. Primeira coluna: 25.
Para b2:
alpha,a1+beta,a2 = (-3,5) ;Longrightarrow; (alpha,;alpha-beta)=(-3,5)
de onde alpha=-3, alpha-beta=5Rightarrow beta=-8. Segunda coluna: -3-8.

Resposta

a) A inversa da reflexão no eixo x é ela mesma,
b) a inversa de uma dilatação de fator k num eixo é a contração de fator 1/k nesse eixo,
c) a inversa de uma rotação de ângulo theta é a rotação de ângulo -theta,
[I]B^A =2 & -3[3pt]5 & -8 ]

Exercícios relacionados