Dados os vetores v=(3,0,1) e u=(-2,1,2) determine proju v e projv u.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v=(3,0,1) e u=(-2,1,2) e pede as projeções de v sobre u e de u sobre v. O conteúdo envolvido é o de projeção ortogonal de vetores em R^3, para o qual precisamos usar a fórmula
projab =bcdota|a|^2,a

Passo 2

Calculemos primeiro o produto escalar e as normas quadradas:
vcdotu =3cdot(-2)+0cdot1+1cdot2=-6+0+2=-4,
|u|^2=(-2)^2+1^2+2^2=4+1+4=9,
|v|^2=3^2+0^2+1^2=9+0+1=10

Passo 3

Usando a fórmula para projuv, temos o fator
vcdotu|u|^2 =-49,
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projuv =-49,(-2,1,2) =l(tfrac89,-tfrac49,-tfrac89r)

Passo 4

Para projvu, o fator é
ucdotv|v|^2 =-410=-tfrac25,
e assim
projvu =-tfrac25,(3,0,1) =l(-tfrac65,0,-tfrac25r)

Resposta

projuv =l(tfrac89,-tfrac49,-tfrac89r), projvu =l(-tfrac65,0,-tfrac25r)

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