5^circ ) Dados os vetores u=(4, alpha), v=(alpha, 2) e w=(1,-3). Determine o valor de alpha tal que u (v-w)=14.

Passo 1

Então, a questão diz que temos os vetores u = (4, alpha), v = (alpha, 2) e w = (1, -3). O conteúdo aqui é produto escalar de vetores no R^2 e vamos precisar usar subtração de vetores pra encontrar v - w e depois aplicar a definição de produto escalar em u cdot (v - w).

Passo 2

Primeiro, calcula a diferença dos vetores v e w subtraindo cada componente:
v - w = (alpha - 1,;2 - (-3)) = (alpha - 1,;5)
Dessa forma, a gente obtém o vetor diferença.

Passo 3

No produto escalar, a definição é: dados dois vetores (x1, y1) e (x2, y2), vale
(x1, y1) cdot (x2, y2) = x1 cdot x2 + y1 cdot y2
Isso significa que a gente multiplica coordenada a coordenada e soma.

Passo 4

Agora aplica em u = (4, alpha) e em (alpha - 1, 5):
u cdot (v - w) = 4 cdot (alpha - 1) + alpha cdot 5
Expandindo os termos:
4(alpha - 1) + 5alpha = 4alpha - 4 + 5alpha = 9alpha - 4

Passo 5

Agora montamos a equação que o enunciado quer: queremos u cdot (v - w) = 14. Então:
9alpha - 4 = 14
Somando 4 em ambos os lados:
9alpha = 18
E dividindo por 9:
alpha = 2

Resposta

alpha = 2

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