Determine as componentes dos vetores, no espaço 2 D, descritos abaixo:
(a) Vetor de módulo 2, fazendo um ângulo de 30^circ com o eixo x positivo.
(b) Vetor a partir do ponto A(2,3) até a origem.
© Vetor a partir do ponto A(-1,-3) até o ponto B(-2,2).
(d) O vetor unitário que faz um ângulo de 2 pi / 3 com o eixo x positivo
(e) O vetor unitário obtido com a rotação de 120^circ no sentido anti-horário do vetor v=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar as componentes de vários vetores em 2D, envolvendo módulo, ângulo e vetores entre pontos. O conteúdo principal é decomposição de vetores em componentes x e y e uso de operações com coordenadas.

Passo 2

Para o vetor de módulo 2 e ângulo 30° com o eixo x, usamos que as componentes são dadas por r·cosθ e r·sinθ. Assim:
vx=2cos30^circ, vy=2sin30^circ
E como cos30^circ=tfracraiz32 e sin30^circ=tfrac12, temos:
vec v=(raiz3,,1)

Passo 3

Para o vetor de A(2,3) até a origem (0,0) usamos subtração de coordenadas: OA=O-A=(0-2,0-3)=(-2,-3).

Passo 4

Para o vetor de A(-1,-3) até B(-2,2) fazemos AB=B-A=(-2-(-1),,2-(-3))=(-1,5).

Passo 5

O vetor unitário com ângulo 2pi/3 vem direto de (costheta,sintheta). Como cos(2pi/3)=-tfrac12 e sin(2pi/3)=tfracraiz32, temos:
hat u=l(-tfrac12,,tfracraiz32r)

Passo 6

Para girar vec v=(0,1) em 120° no sentido anti-horário, usamos a fórmula de rotação:
v'x=cos120^circcdot0-sin120^circcdot1, v'y=sin120^circcdot0+cos120^circcdot1
Como sin120^circ=tfracraiz32 e cos120^circ=-tfrac12, fica:
vec v'=l(-tfracraiz32,,-tfrac12r)

Resposta

(a) (raiz3,,1)
(b) (-2,-3)
© (-1,5)
(d) ( -tfrac12,,tfracraiz32)
(e) ( -tfracraiz32,,-tfrac12)

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