Dados os vetores a=(1,2,0) e b=(-1,0,1), determine o vetor v colinear ao vetor (b-a) times a, sabendo que |v|=12 e que forma um ângulo agudo com o eixo Oz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, a = (1, 2, 0) e b = (-1, 0, 1). A missão é encontrar um vetor v que seja colinear com o vetor resultante de (b - a) times a. Além disso, esse vetor v precisa ter um comprimento (magnitude) de 12 e formar um ângulo agudo com o eixo Oz (o eixo vertical). Para resolver isso, vamos precisar usar operações com vetores, como subtração, produto vetorial (cross product) e achar o vetor na direção certa com o tamanho desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença entre os vetores b e a:
b - a = (-1, 0, 1) - (1, 2, 0) = (-1 - 1, 0 - 2, 1 - 0) = (-2, -2, 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre b - a e a. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = ( uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx )
Aplicando isso aos vetores b - a = (-2, -2, 1) e a = (1, 2, 0):
(b - a) times a = ( (-2)(0) - (1)(2), (1)(1) - (-2)(0), (-2)(2) - (-2)(1) )
= (0 - 2, 1 - 0, -4 + 2) = (-2, 1, -2)

Passo 4

O vetor v precisa ser colinear com (-2, 1, -2), ou seja, v é um múltiplo escalar desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de k, então:
v = k cdot (-2, 1, -2) = (-2k, k, -2k)

Passo 5

Sabemos que a magnitude de v é 12. A fórmula para a magnitude de um vetor (x, y, z) é:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Aplicando isso ao nosso vetor v = (-2k, k, -2k):
12 = raiz(-2k)^2 + (k)^2 + (-2k)^2 = raiz4k^2 + k^2 + 4k^2 = raiz9k^2 = 3|k|
Então:
3|k| = 12 Rightarrow |k| = 4 Rightarrow k = pm 4

Passo 6

Agora, precisamos escolher o valor de k que faz com que o vetor v forme um ângulo agudo com o eixo Oz. O eixo Oz é o vetor (0, 0, 1). O ângulo entre dois vetores é agudo se o produto escalar entre eles for positivo.
Vamos calcular o produto escalar entre v e Oz:
v cdot Oz = (-2k)(0) + (k)(0) + (-2k)(1) = -2k
Para que o ângulo seja agudo, precisamos que -2k > 0, ou seja, k < 0. Como |k| = 4, então k = -4.

Resposta

O vetor v é boxed,v = (8, -4, 8),.

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