Dados os vetores
e
, determine o vetor
colinear ao vetor
, sabendo que
e que forma um ângulo agudo com o eixo Oz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
. A missão é encontrar um vetor
que seja colinear com o vetor resultante de
. Além disso, esse vetor
precisa ter um comprimento (magnitude) de 12 e formar um ângulo agudo com o eixo
(o eixo vertical). Para resolver isso, vamos precisar usar operações com vetores, como subtração, produto vetorial (cross product) e achar o vetor na direção certa com o tamanho desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a diferença entre os vetores
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre
e
. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula para o produto vetorial é:
Aplicando isso aos vetores
e
:
Passo 4
O vetor
precisa ser colinear com
, ou seja,
é um múltiplo escalar desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de
, então:
Passo 5
Sabemos que a magnitude de
é 12. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso vetor
:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos escolher o valor de
que faz com que o vetor
forme um ângulo agudo com o eixo
. O eixo
é o vetor
. O ângulo entre dois vetores é agudo se o produto escalar entre eles for positivo.
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Para que o ângulo seja agudo, precisamos que
, ou seja,
. Como
, então
.
Resposta
O vetor
é
.