Mostre que a equação dada é a equação de uma esfera, determinando o seu centro e o seu raio:
x^2+y^2+z^2-2 y-2 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
x^2+y^2+z^2-2y-2z+1=0
é a equação de uma esfera e determinar seu centro e raio. Para isso, vamos usar o método de completar quadrados em y e z, deixando a forma padrão
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = R^2

Passo 2

Escrevemos os termos agrupados por variável:
x^2 ;+;l(y^2-2yr);+;l(z^2-2zr);+;1 ;=;0

Passo 3

Completar o quadrado em y e em z:
y^2-2y = (y-1)^2-1,
z^2-2z = (z-1)^2-1

Passo 4

Substituindo na equação original:
x^2 + l((y-1)^2-1r) + l((z-1)^2-1r) + 1 = 0
Rightarrow x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 -1 -1 +1 = 0
Rightarrow x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1

Passo 5

Reconhecemos agora a forma padrão de uma esfera com centro
(x0,y0,z0) = (0,1,1)
e raio
R = raiz1 = 1

Resposta

O centro da esfera é (0,1,1) e o raio é 1.

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