Decomponha o vetor v=5 i+3 j-5 k como combinação linear dos vetores u1=3 i-4 j, u2=4 j-k e u3=5 i-3 k.

Passo 1

O enunciado pede decompor o vetor
vec v = 5vec i + 3vec j - 5vec k
como combinação linear dos vetores
vec u1 = 3vec i - 4vec j,
vec u2 = 4vec j - vec k e
vec u3 = 5vec i - 3vec k.
Ou seja, encontrar escalares a,b,c tais que
a,vec u1 ;+; b,vec u2 ;+; c,vec u3 ;=;vec v
Para isso, vamos escrever a soma vetorial componente a componente e resolver o sistema linear resultante.

Passo 2

Escrevendo
a,(3, -4, 0) ;+; b,(0,4,-1) ;+; c,(5,0,-3) ;=;(5,3,-5)
obtemos o sistema nas componentes i,j,k:
3a ;+; 5c = 5
-4a ;+;4b = 3
-,b ;-;3c = -5

Passo 3

Da terceira equação
Substituindo em :
Mantemos também . Assim temos o
Multiplicando a segunda por , depois subtraindo, achamos

Passo 4

Finalmente, de b = 5 - 3c segue
b = 5 - 3cdot3116 = 80 - 9316 = -1316

Resposta

vec v = -2516,vec u1 ;-;1316,vec u2 ;+;3116,vec u3

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