Os vetores a e b formam com o eixo OZ o mesmo ângulo gamma. Calcule a projeção de 2 a+b sobre o eixo Z, sabendo que |a|=1, |b|=2 e gamma=60^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores e suas projeções no eixo Z. Nós temos dois vetores, a e b, que formam o mesmo ângulo gamma = 60^circ com o eixo Z. Queremos encontrar a projeção de 2a + b nesse eixo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de projeção de vetores e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor no eixo Z. A projeção de um vetor v no eixo Z é dada por:
ProjZ(v) = |v| cdot cos(gamma)
onde |v| é a magnitude do vetor e gamma é o ângulo que ele forma com o eixo Z.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada vetor envolvido na expressão 2a + b.
Primeiro, a projeção de a no eixo Z:
ProjZ(a) = |a| cdot cos(60^circ)
Sabemos que |a| = 1, então:
ProjZ(a) = 1 cdot cos(60^circ) = 1 cdot 0,5 = 0,5

Passo 4

Agora, a projeção de b no eixo Z:
ProjZ(b) = |b| cdot cos(60^circ)
Com |b| = 2:
ProjZ(b) = 2 cdot 0,5 = 1

Passo 5

Como queremos a projeção de 2a + b, vamos usar a propriedade de linearidade das projeções:
ProjZ(2a + b) = 2 cdot ProjZ(a) + ProjZ(b)
Substituindo os valores que encontramos:
ProjZ(2a + b) = 2 cdot 0,5 + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

A projeção de 2a + b sobre o eixo Z é 2 unidades.

Exercícios relacionados