Dados os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,1), determine um vetor w satisfazendo as seguintes condições: 1^a ) proju^barw=(12, 0, 12); 2^a) A área do paralelogramo determinado pelos vetores w e v seja igual a raiz3 u.a.; 3^a) O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores w, u, v seja igual a 2 u.v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, u = (1, 0, 1) e v = (0, 1, 1), e pede para encontrarmos um vetor w que satisfaça três condições específicas: a projeção de w em u, a área do paralelogramo formado por w e v, e o volume do paralelepípedo formado por w, u e v. Para resolver, vamos usar conceitos de projeção vetorial, produto vetorial e produto misto.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar da projeção de w sobre u. A projeção de um vetor w em outro vetor u é dada pela fórmula:
proju w = ( w cdot uu cdot u ) u
Segundo o enunciado, essa projeção deve ser igual a ( 12, 0, 12 ). Como u cdot u = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2, temos:
( w cdot u2 ) u = ( 12, 0, 12 )
Isso implica que w cdot u2 = 12, ou seja, w cdot u = 1.

Passo 3

Agora, consideramos a segunda condição: a área do paralelogramo formado por w e v deve ser igual a raiz3. A área de um paralelogramo formado por dois vetores é o módulo do produto vetorial entre eles:
Área = | w times v | = raiz3 Á
Vamos calcular w times v. Sejam w = (w1, w2, w3) e v = (0, 1, 1), então:
w times v = i & j & k w1 & w2 & w3 0 & 1 & 1 = ( w2 cdot 1 - w3 cdot 1, w3 cdot 0 - w1 cdot 1, w1 cdot 1 - w2 cdot 0 ) = (w2 - w3, -w1, w1)
O módulo desse vetor deve ser raiz3:
| w times v | = raiz(w2 - w3)^2 + (-w1)^2 + (w1)^2 = raiz(w2 - w3)^2 + 2w1^2 = raiz3
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(w2 - w3)^2 + 2w1^2 = 3

Passo 4

Finalmente, a terceira condição é que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores w, u e v seja igual a 2. O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
Volume = | w cdot (u times v) | = 2
Primeiro, vamos calcular u times v:
u times v = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 = (0 cdot 1 - 1 cdot 1, 1 cdot 0 - 1 cdot 1, 1 cdot 1 - 0 cdot 0 ) = (-1, -1, 1)
Então:
w cdot (u times v) = w1(-1) + w2(-1) + w3(1) = -w1 - w2 + w3
O valor absoluto disso deve ser 2:
| -w1 - w2 + w3 | = 2

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
  1. w cdot u = 1 Rightarrow w1 + w3 = 1
  2. (w2 - w3)^2 + 2w1^2 = 3
  3. | -w1 - w2 + w3 | = 2
Vamos resolver passo a passo. Da primeira equação, podemos expressar w3 em termos de w1:
w3 = 1 - w1
Substituindo w3 na segunda equação:
(w2 - (1 - w1))^2 + 2w1^2 = 3 (w2 - 1 + w1)^2 + 2w1^2 = 3
Agora, a terceira equação também com w3 = 1 - w1:
| -w1 - w2 + (1 - w1) | = | -2w1 - w2 + 1 | = 2
Temos duas possibilidades:
a) -2w1 - w2 + 1 = 2
b) -2w1 - w2 + 1 = -2
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso a:
-2w1 - w2 + 1 = 2 -2w1 - w2 = 1 w2 = -2w1 -1
Substituindo w2 e w3 na segunda equação:
(-2w1 -1 -1 + w1)^2 + 2w1^2 = 3 (-w1 -2)^2 + 2w1^2 = 3 (w1 +2)^2 + 2w1^2 = 3 w1^2 +4w1 +4 +2w1^2 = 3 3w1^2 +4w1 +1 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
w1 = -4 pm raiz16 -12 6 = -4 pm 2 6
Assim:
w1 = -4 +26 = -13 ou w1 = -4 -26 = -1
Para w1 = -13:
w3 = 1 - (-13) = 43 w2 = -2(-13) -1 = 23 -1 = -13
Para w1 = -1:
w3 = 1 - (-1) = 2 w2 = -2(-1) -1 = 2 -1 =1
Caso b:
-2w1 - w2 +1 = -2 -2w1 -w2 = -3 w2 = -2w1 +3
Substituindo na segunda equação:
(-2w1 +3 -1 +w1)^2 + 2w1^2 = 3 (-w1 +2)^2 +2w1^2 =3 w1^2 -4w1 +4 +2w1^2 =3 3w1^2 -4w1 +1 =0
Resolvendo a quadrática:
w1 = 4 pm raiz16 -126 = 4 pm 26
Assim:
w1 = 4 +26 =1 ou w1 = 4 -26 = 13
Para w1 =1:
w3 =1 -1 =0 w2 = -2(1) +3 =1
Para w1 = 13:
w3 =1 - 13 = 23 w2 = -2(13) +3 = -23 +3 = 73

Resposta

Existem quatro possíveis vetores w que satisfazem as condições dadas:
  1. w = ( -13, -13, 43 )
  2. w = (-1, 1, 2)
  3. w = (1, 1, 0)
  4. w = ( 13, 73, 23 )

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