Dados os vetores e , determine um vetor satisfazendo as seguintes condições: ) ; ) A área do paralelogramo determinado pelos vetores e seja igual a u.a.; ) O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores seja igual a 2 u.v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, e , e pede para encontrarmos um vetor que satisfaça três condições específicas: a projeção de em , a área do paralelogramo formado por e , e o volume do paralelepípedo formado por , e . Para resolver, vamos usar conceitos de projeção vetorial, produto vetorial e produto misto.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar da projeção de sobre . A projeção de um vetor em outro vetor é dada pela fórmula:
Segundo o enunciado, essa projeção deve ser igual a . Como , temos:
Isso implica que , ou seja, .
Passo 3
Agora, consideramos a segunda condição: a área do paralelogramo formado por e deve ser igual a . A área de um paralelogramo formado por dois vetores é o módulo do produto vetorial entre eles:
Vamos calcular . Sejam e , então:
O módulo desse vetor deve ser raiz3:
| w times v | = raiz(w2 - w3)^2 + (-w1)^2 + (w1)^2 = raiz(w2 - w3)^2 + 2w1^2 = raiz3
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(w2 - w3)^2 + 2w1^2 = 3
Passo 4
Finalmente, a terceira condição é que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores w, u e v seja igual a 2. O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
Volume = | w cdot (u times v) | = 2
Primeiro, vamos calcular u times v:
u times v = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 = (0 cdot 1 - 1 cdot 1, 1 cdot 0 - 1 cdot 1, 1 cdot 1 - 0 cdot 0 ) = (-1, -1, 1)
Então:
w cdot (u times v) = w1(-1) + w2(-1) + w3(1) = -w1 - w2 + w3
O valor absoluto disso deve ser 2:
| -w1 - w2 + w3 | = 2
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
w cdot u = 1 Rightarrow w1 + w3 = 1
(w2 - w3)^2 + 2w1^2 = 3
| -w1 - w2 + w3 | = 2
Vamos resolver passo a passo. Da primeira equação, podemos expressar w3 em termos de w1: