Seja C o conjunto das triplas de números reais (x1, x2, x3) onde a soma é definida como
(x1, x2, x3)+(y1, y2, y3)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3)
e o produto como o produto vetorial
(x1, x2, x3) cdot(y1, y2, y3)=(x2 cdot y3-x3 cdot y2, x3 cdot y1-x1 cdot y3, x1 cdot y2-x2 cdot y1)
Verifique se C é um corpo.

Passo 1

Estamos com o conjunto
;C=(x1,x2,x3)mid xiinR
munido de
  1. adição vetorial usual
(x1,x2,x3)+(y1,y2,y3) =(x1+y1,,x2+y2,,x3+y3),
  1. multiplicação dada pelo produto vetorial
(x1,x2,x3)cdot(y1,y2,y3) =(x2y3-x3y2,,x3y1-x1y3,,x1y2-x2y1)
Para ser um corpo, C teria de satisfazer todos os axiomas de corpo: fechamento, associatividade e comutatividade da adição, existência de 0 e -v, fechamento, associatividade e comutatividade da multiplicação, existência de elemento unidade 1neq0 e inversos multiplicativos para todo vneq0, além da distributividade.

Passo 2

No produto vetorial sabemos que
vcdot w = -l(wcdot vr)
para quaisquer v,win C. Em particular,
vcdot w neq wcdot v
em geral. Logo falta a comutatividade da multiplicação, que é obrigatória num corpo.

Passo 3

Mesmo que ignorássemos a comutatividade, precisaríamos de um elemento neutro multiplicativo e tal que
ecdot v = ve vcdot e = v
para todo v. Não existe vetor e=(e1,e2,e3) satisfazendo isso simultaneamente para todos v, pois o produto vetorial de qualquer vetor com si mesmo é zero e, em geral, não há forma de recuperar v. Portanto não há identidade multiplicativa.

Passo 4

Além disso, para qualquer vneq0 temos
vcdot v = (v2v3-v3v2,,dots) = (0,0,0),
ou seja, todo vetor não nulo é divisor de zero. Num corpo não pode haver divisores de zero pois todo elemento não nulo teria inverso multiplicativo.

Resposta

O conjunto C com essa adição e produto vetorial não é um corpo.

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