Seja
o conjunto das triplas de números reais
onde a soma é definida como
e o produto como o produto vetorial
Verifique se
é um corpo.
Passo 1
Estamos com o conjunto
munido de
munido de
- adição vetorial usual
- multiplicação dada pelo produto vetorial
Para ser um corpo,
teria de satisfazer todos os axiomas de corpo: fechamento, associatividade e comutatividade da adição, existência de
e
, fechamento, associatividade e comutatividade da multiplicação, existência de elemento unidade
e inversos multiplicativos para todo
, além da distributividade.
Passo 2
No produto vetorial sabemos que
para quaisquer
. Em particular,
em geral. Logo falta a comutatividade da multiplicação, que é obrigatória num corpo.
Passo 3
Mesmo que ignorássemos a comutatividade, precisaríamos de um elemento neutro multiplicativo
tal que
para todo
. Não existe vetor
satisfazendo isso simultaneamente para todos
, pois o produto vetorial de qualquer vetor com si mesmo é zero e, em geral, não há forma de recuperar
. Portanto não há identidade multiplicativa.
Passo 4
Além disso, para qualquer
temos
ou seja, todo vetor não nulo é divisor de zero. Num corpo não pode haver divisores de zero pois todo elemento não nulo teria inverso multiplicativo.
Resposta
O conjunto
com essa adição e produto vetorial não é um corpo.