Determine o raio da esfera que tem volume igual ao volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=(pi, pi, pi), v=(pi, pi,-pi) e u=(23 pi^2, 6 pi^2, pi). [volume da esfera: V=43 pi r^3].

Passo 1

O enunciado pede o raio r de uma esfera cujo volume
Vesf = 43,pi,r^3
é igual ao volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
vec u=(pi,pi,pi),
vec v=(pi,pi,-pi) e
vec w=l(tfrac23pi^2,6pi^2,pir).
Para isso vamos usar o produto misto (determinante da matriz cujas linhas são vec u,vec v,vec w) para obter o volume do paralelepípedo e então igualar a tfrac43pi r^3.

Passo 2

O volume do paralelepípedo é
Vpar = l|det pi & pi & pi pi & pi & -pi tfrac23pi^2 & 6pi^2 & pi r|
Expandindo pela primeira linha:
det = pi pi & -pi[6pt] 6pi^2 & pi - pi pi & -pi[6pt] tfrac23pi^2 & pi + pi pi & pi[6pt] tfrac23pi^2 & 6pi^2
Calculando cada menor:
pi(picdotpi -(-pi)cdot6pi^2) &= pi(pi^2+6pi^3)=pi^3+6pi^4, pi(picdotpi -(-pi)cdottfrac23pi^2)&=pi(pi^2+tfrac23pi^3) =pi^3+tfrac23pi^4, pi(picdot6pi^2-picdottfrac23pi^2)&=pil(6pi^3-tfrac23pi^3r) =tfrac163pi^4
Somando com os sinais certos:
det = (pi^3+6pi^4) - (pi^3+tfrac23pi^4) + tfrac163pi^4 = 323,pi^4
Logo
Vpar = 323,pi^4
]

Passo 3

Igualando o volume da esfera ao do paralelepípedo:
43,pi,r^3 ;=;323,pi^4 Longrightarrow r^3 = 8,pi^3 Longrightarrow r = raiz[3]8,pi^3 = 2,pi

Resposta

O raio da esfera é r = 2pi.

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