Dados os vetores u=(3,-1,2) e v=(2,3,0), determine um vetor w tal que w cdot u=-2 e w times v=(3,-2,-3).
Resp: w=(1,3,-1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,-1,2) e v=(2,3,0) e pede um vetor w tal que
wcdotu=-2
e
wtimesv=(3,-2,-3)
O conteúdo aqui é o produto escalar (dot) e o produto vetorial (cross) em coordenadas no R^3.

Passo 2

Vamos escrever
w=(x,y,z)
O produto escalar com u
wcdotu=3x - y + 2z = -2
Para o produto vetorial, usamos a fórmula em coordenadas:
wtimesv = l(ycdot0 - zcdot3,; zcdot2 - xcdot0,; xcdot3 - ycdot2r) = (-3z,;2z,;3x-2y)

Passo 3

Igualando com (3,-2,-3) obtemos as três equações do cross:
-3z = 3, 2z = -2, 3x - 2y = -3
e a do dot:
3x - y + 2z = -2

Passo 4

Das duas primeiras equações do cross segue
-3z=3implies z=-1, 2z=-2implies z=-1
(consistente). Substituindo z=-1 na equação do dot:
3x - y + 2(-1) = -2 Longrightarrow 3x - y -2 = -2 Longrightarrow 3x - y = 0 Longrightarrow y = 3x
Agora a terceira equação do cross:
3x - 2y = -3 Longrightarrow 3x - 2(3x) = -3 Longrightarrow -3x = -3 Longrightarrow x = 1
e daí y = 3cdot1 = 3.

Resposta

w = (1,,3,,-1)

Exercícios relacionados