Verificar a dependência linear dos vetores:
a=(1,2,2), b=(-4,6,0) e c=(3,-1,2)
Resp: b) LD

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
a=(1,2,2), b=(-4,6,0) e c=(3,-1,2).
Precisamos verificar se eles são linearmente dependentes, ou seja, se existem escalares, não todos nulos, tais que
alpha,a + beta,b + gamma,c = 0

Passo 2

Escrevendo a combinação linear coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha - 4beta + 3gamma = 0, 2alpha + 6beta - gamma = 0, 2alpha + 0beta + 2gamma = 0

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada e fazer eliminação de Gauss:
(ccc|c 1 & -4 & 3 & 0 2 & 6 & -1& 0 2 & 0 & 2 & 0 )
Fazendo R2 R2-2R1 e R3 R3-2R1, vem
(ccc|c 1 & -4 & 3 & 0 0 & 14 & -7& 0 0 & 8 & -4& 0 )
Agora R2 tfrac17R2 e R3 tfrac14R3:
(ccc|c 1 & -4 & 3 & 0 0 & 2 & -1& 0 0 & 2 & -1& 0 )
Subtraindo R3 R3-R2 zera a terceira linha, confirmando variável livre.
Da segunda linha:
;2beta - gamma = 0 implies gamma = 2beta.
Da primeira linha:
;alpha -4beta +3gamma=0 implies alpha =4beta -3(2beta) = -2beta.

Passo 4

Como podemos escolher, por exemplo, beta=1 e obter alpha=-2, gamma=2 com
-2,a + 1,b + 2,c = 0,
existe combinação não trivial que zera os vetores. Logo, a,b,c é linearmente dependente.

Resposta

LD

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