Dados os vetores , encontre uma base para contendo esses vetores.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em , e , e pede que os completemos até formar uma base de . O conteúdo é o de extensão de um conjunto de vetores independentes a uma base de um espaço vetorial de dimensão 3.
Passo 2
Primeiro verificamos que os dois vetores são independentes. Se existissem escalares tais que
então do primeiro componente vem . Do segundo vem . Logo só a solução trivial existe, e os vetores são independentes.
Passo 3
Para completar a base, basta escolher um terceiro vetor que não pertença ao plano gerado pelos dois dados. Uma escolha simples é
Precisamos checar que não é combinação linear de e .
Passo 4
Para confirmar que é uma base, podemos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar que o determinante é não nulo:
Determinante diferente de zero implica que os três vetores são independentes e, como temos 3 vetores em R^3, formam uma base.
Resposta
Uma possível base de R^3 que contém (1,2,0) e (0,1,1) é