Dados os vetores (1,2,0),(0,1,1), encontre uma base para R^3 contendo esses vetores.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3, (1,2,0) e (0,1,1), e pede que os completemos até formar uma base de R^3. O conteúdo é o de extensão de um conjunto de vetores independentes a uma base de um espaço vetorial de dimensão 3.

Passo 2

Primeiro verificamos que os dois vetores são independentes. Se existissem escalares a,b tais que
a(1,2,0)+b(0,1,1)=(0,0,0),
então do primeiro componente vem a=0. Do segundo vem 2a+b=0implies b=0. Logo só a solução trivial existe, e os vetores são independentes.

Passo 3

Para completar a base, basta escolher um terceiro vetor que não pertença ao plano gerado pelos dois dados. Uma escolha simples é
v3=(1,0,0)
Precisamos checar que v3 não é combinação linear de (1,2,0) e (0,1,1).

Passo 4

Para confirmar que (1,2,0),(0,1,1),(1,0,0) é uma base, podemos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar que o determinante é não nulo:
det 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 1 & 0 =1cdotdet1&01&0 -0+;1cdotdet2&10&1 =0+2=2neq0
Determinante diferente de zero implica que os três vetores são independentes e, como temos 3 vetores em R^3, formam uma base.

Resposta

Uma possível base de R^3 que contém (1,2,0) e (0,1,1) é
(1,2,0),;(0,1,1),;(1,0,0)

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