Seja o espaço das funções continuas
mostre que o conjunto das funções
de
tais que
e
não é subespaço vetorial de V .
Passo 1
O enunciado diz que temos o espaço vetorial
das funções contínuas em e definimos
das funções contínuas em
A tarefa é mostrar que
não é subespaço vetorial de
. Para isso precisamos lembrar a definição de subespaço: um subconjunto não vazio
de um espaço vetorial
só é subespaço se for fechado sob soma e multiplicação escalar e contiver o vetor nulo de
.
Passo 2
Lembremos os três requisitos para
ser subespaço de
:
- Contém o vetor zero de
. - Se
então . - Se
e então .
Basta que um desses falhe para concluir que
não é subespaço.
Passo 3
Verificamos o vetor zero de
, que é a função
Temos
(ok), mas
logo
.
Como
não contém o vetor nulo de
, ele falha já no primeiro requisito de subespaço.
Resposta
O conjunto
não é subespaço vetorial de
, pois não contém o vetor zero.