Seja o espaço das funções continuas C^circ[0,1] mostre que o conjunto das funções f de checkmark tais que f(0)=0 e f(1)=1 não é subespaço vetorial de V .

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial
C^circ[0,1]
das funções contínuas em [0,1] e definimos
W = ,fin C^circ[0,1]mid f(0)=0 e f(1)=1
A tarefa é mostrar que W não é subespaço vetorial de C^circ[0,1]. Para isso precisamos lembrar a definição de subespaço: um subconjunto não vazio W de um espaço vetorial V só é subespaço se for fechado sob soma e multiplicação escalar e contiver o vetor nulo de V.

Passo 2

Lembremos os três requisitos para Wsubset V ser subespaço de V:
  1. Contém o vetor zero de V.
  2. Se f,gin W então f+gin W.
  3. Se fin W e alphainR então alpha fin W.
Basta que um desses falhe para concluir que W não é subespaço.

Passo 3

Verificamos o vetor zero de C^circ[0,1], que é a função
f0(x)=0, forall xin[0,1]
Temos f0(0)=0 (ok), mas
f0(1)=0neq1,
logo f0notin W.
Como W não contém o vetor nulo de C^circ[0,1], ele falha já no primeiro requisito de subespaço.

Resposta

O conjunto W não é subespaço vetorial de C^circ[0,1], pois não contém o vetor zero.

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