Prove que em , qualquer conjunto de 4 vetores é linearmente dependente.
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos mostrar que em qualquer conjunto de quatro vetores é linearmente dependente. O conteúdo é dependência linear e sistemas lineares homogêneos; vamos usar a ideia de montar um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações para garantir solução não trivial.
Passo 2
Sejam quatro vetores arbitrários em :
Consideramos a combinação linear genérica
onde são escalares a determinar.
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema homogêneo
Aqui temos 3 equações lineares e 4 incógnitas alpha1,dots,alpha4. Um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre admite uma solução não trivial (teorema básico de sistemas lineares, ou argumento de posto e nulidade).
Passo 4
Como existe uma escolha não trivial de (alpha1,alpha2,alpha3,alpha4)neq(0,0,0,0) que satisfaz o sistema, concluímos que
alpha1v1 + alpha2v2 + alpha3v3 + alpha4v4 = 0
com algum alphaineq0. Isso é exatamente a definição de dependência linear.
Resposta
Qualquer conjunto de quatro vetores em R^3 é linearmente dependente.