Prove que em R^3, qualquer conjunto de 4 vetores é linearmente dependente.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos mostrar que em R^3 qualquer conjunto de quatro vetores é linearmente dependente. O conteúdo é dependência linear e sistemas lineares homogêneos; vamos usar a ideia de montar um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações para garantir solução não trivial.

Passo 2

Sejam quatro vetores arbitrários em R^3:
v1=(v11,v21,v31), v2=(v12,v22,v32), v3=(v13,v23,v33), v4=(v14,v24,v34)
Consideramos a combinação linear genérica
alpha1v1 + alpha2v2 + alpha3v3 + alpha4v4 = 0,
onde alpha1,alpha2,alpha3,alpha4 são escalares a determinar.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema homogêneo
v11alpha1 + v12alpha2 + v13alpha3 + v14alpha4 = 0, v21alpha1 + v22alpha2 + v23alpha3 + v24alpha4 = 0, v31alpha1 + v32alpha2 + v33alpha3 + v34alpha4 = 0
Aqui temos 3 equações lineares e 4 incógnitas alpha1,dots,alpha4. Um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre admite uma solução não trivial (teorema básico de sistemas lineares, ou argumento de posto e nulidade).

Passo 4

Como existe uma escolha não trivial de (alpha1,alpha2,alpha3,alpha4)neq(0,0,0,0) que satisfaz o sistema, concluímos que
alpha1v1 + alpha2v2 + alpha3v3 + alpha4v4 = 0
com algum alphaineq0. Isso é exatamente a definição de dependência linear.

Resposta

Qualquer conjunto de quatro vetores em R^3 é linearmente dependente.

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