Mostre que o conjunto de vetores de c que são combinação lineares de (1,1,0),(0,1,1) forma um subespaço.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
U = ,a(1,1,0) + b(0,1,1)mid a,binR
é um subespaço de R^3.
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais e subespaços; usamos o critério de subespaço:
  1. 0in U.
  2. Se u,vin U então u+vin U.
  3. Se uin U e lambdainR então lambda uin U.

Passo 2

Definimos explicitamente
U=uinR^3 mid u = a(1,1,0) + b(0,1,1) para alguns a,binR

Passo 3

Mostramos que o vetor zero está em U. Basta escolher a=0 e b=0:
0(1,1,0) + 0(0,1,1) = (0,0,0),
logo (0,0,0)in U.

Passo 4

Verificamos fechamento por adição. Se
u = a(1,1,0) + b(0,1,1), v = c(1,1,0) + d(0,1,1),
então
u+v = (a+c)(1,1,0);+;(b+d)(0,1,1),
e como a+c e b+d são reais, segue u+vin U.

Passo 5

Verificamos fechamento por multiplicação escalar. Seja lambdainR e
u = a(1,1,0) + b(0,1,1)in U
Então
lambda u = (lambda a)(1,1,0) + (lambda b)(0,1,1),
com lambda a,lambda binR, logo lambda uin U.

Resposta

Pelo critério de subespaço (não vazio, fechado em soma e escalar), concluímos que U é um subespaço de R^3.

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