Dados os vetores v=(2,-1,3), u=(-1,1,2) e w=(2,1,-2). Encontre os números a, b e c tais que
a v+b u+c w=(16,-3,2)

Passo 1

O enunciado pede os escalares a,b,c tais que
av+bu+cw = (16,-3,2),
onde v=(2,-1,3), u=(-1,1,2) e w=(2,1,-2).
O conteúdo envolvido é combinação linear e sistemas lineares, pois basta igualar componente a componente para montar um sistema 3times 3 e resolvê-lo.

Passo 2

Calculemos av+bu+cw em cada componente:
av+bu+cw =(2a - b + 2c,;-a + b + c,;3a + 2b - 2c)
Comparando com (16,-3,2) obtemos o sistema
2a - b + 2c = 16, -,a + b + c = -3, 3a + 2b - 2c = 2

Passo 3

Da segunda equação
-,a + b + c = -3
isolamos b:
b = a - c - 3

Passo 4

Substituindo b = a - c - 3 na primeira equação
2a - b + 2c = 16
vem
2a - (a - c - 3) + 2c = 16 Longrightarrow a + 3c = 13 Longrightarrow a = 13 - 3c

Passo 5

Agora, b = a - c - 3 = (13 - 3c) - c - 3 = 10 - 4c.
Substituindo a = 13 - 3c e b = 10 - 4c na terceira equação
3a + 2b - 2c = 2
temos
3(13 - 3c) ;+;2(10 - 4c);-;2c = 2 ;Longrightarrow; 59 - 19c = 2 ;Longrightarrow; c = 3

Passo 6

Finalmente, com c = 3 achar
a = 13 - 3c = 13 - 9 = 4, b = 10 - 4c = 10 - 12 = -2

Resposta

a = 4, b = -2, c = 3.

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