Dados os vetores u=(2,-1) e v=(3,-3). Se o vetor w=2 u-4 v tem como ponto final (5,5), encontre o ponto inicial de w.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(2,-1) e v=(3,-3) e define w=2u-4v. Sabe-se que o ponto final de w é (5,5) e o objetivo é encontrar o ponto inicial de w. Para isso vamos usar operações de combinação linear de vetores e a relação entre ponto inicial (x0,y0), vetor w e ponto final (xf,yf):
(xf,yf)=(x0,y0)+w

Passo 2

Calculamos primeiro w=2u-4v. Componentes:
2u = 2,(2,-1) = (4,-2), 4v = 4,(3,-3) = (12,-12),
w = (4,-2) - (12,-12) = (4-12,,-2+12) = (-8,,10)

Passo 3

Seja (x0,y0) o ponto inicial de w e (5,5) o ponto final. Então
(5,5) = (x0,y0) + (-8,10)
Desse modo,
x0 - 8 = 5, y0 + 10 = 5

Passo 4

Resolvendo cada equação:
x0 = 5 + 8 = 13, y0 = 5 - 10 = -5

Resposta

O ponto inicial de w é (13,-5).

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