Para encontrar a matriz de projeção P no mesmo plano x-y-2 z=0, tome um vetor e que seja perpendicular a esse plano. Calcule a matriz de projeção Q=e e^T / e^T e e então tome P=I-Q.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de projeção P sobre o plano definido por x - y - 2z = 0. O conteúdo é projeção ortogonal em R^3. Vamos:
  1. escolher um vetor normal e ao plano;
  2. calcular a projeção em direção a e, isto é
Q = e,e^Te^Te;
  1. obter P = I - Q.

Passo 2

O vetor normal ao plano x - y - 2z = 0 é simplesmente
e = 1 -1 -2
Calculamos seu quadrado de norma:
e^Te = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 6

Passo 3

A matriz de projeção em direção a e é
Q = e,e^Te^Te = 16 1cdot1 & 1cdot(-1) & 1cdot(-2) (-1)cdot1 & (-1)cdot(-1) & (-1)cdot(-2) (-2)cdot1 & (-2)cdot(-1) & (-2)cdot(-2) = 16 1 & -1 & -2 -1 & 1 & 2 -2 & 2 & 4

Passo 4

Agora a projeção ortogonal no plano é
P = I - Q = I - 16 1 & -1 & -2 -1 & 1 & 2 -2 & 2 & 4
Subtraindo de I3 obtemos
P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 16 1 & -1 & -2 -1 & 1 & 2 -2 & 2 & 4 = 16 5 & 1 & 2 1 & 5 & -2 2 & -2 & 2

Resposta

P = 16 5 & 1 & 2 1 & 5 & -2 2 & -2 & 2

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