Encontre o valor de x para que o determinante seja igual a zero.
|ccc1 & 3 & -1 x-1 & -1 & -2 3 & x-1 & 4|

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) valor(es) de x tais que o determinante da matriz
1 & 3 & -1 x-1 & -1 & -2 3 & x-1 & 4
seja igual a zero. O conteúdo envolvido é o cálculo de determinante de uma matriz 3times3 e a resolução da equação resultante em x.

Passo 2

Vamos desenvolver o determinante pela primeira linha. Assim, definimos
D = |ccc 1 & 3 & -1 x-1 & -1 & -2 3 & x-1 & 4 | = 1cdot M11;-;3cdot M12;+;(-1)cdot M13,
onde
M11 = det!-1 & -2 x-1 & 4, M12 = det!x-1 & -2 3 & 4, M13 = det!x-1 & -1 3 & x-1

Passo 3

Calculamos cada menor:
M11 = (-1)cdot 4 ;-;(-2)cdot(x-1) = -4 +2(x-1) =2x-6,
M12 = (x-1)cdot4 ;-;(-2)cdot3 =4x-4+6 =4x+2,
M13 = (x-1),(x-1) ;-;(-1)cdot3 =(x-1)^2+3 =x^2-2x+4

Passo 4

Substituindo esses valores em D, temos
D = 1cdot(2x-6);-;3cdot(4x+2);-;(x^2-2x+4)
Agora simplificamos:
D = 2x-6 ;-;12x-6 ;-;x^2+2x-4 = -x^2 ;+;(2x-12x+2x);+;(-6-6-4) = -x^2 -8x -16

Passo 5

Para encontrar x tal que D=0, resolvemos
-x^2-8x-16 = 0 ;Longrightarrow; x^2+8x+16 = 0
Reconhecemos que x^2+8x+16 = (x+4)^2. Logo
(x+4)^2 = 0 ;Longrightarrow; x = -4

Resposta

x = -4

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