Dados vetores u1=(1,0,0,0), u2=(1,1,0,0), u3=(1,1,1,0) e u4= (1,1,1,1), encontre todos os vetores em R^4 que sejam ortogonais aos vetores u1 e u2 e façam o mesmo ângulo com os vetores u3 e u4.

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores x=(x1,x2,x3,x4)inR^4 tais que
  1. x seja ortogonal a u1=(1,0,0,0) e a u2=(1,1,0,0).
  2. O ângulo entre x e u3=(1,1,1,0) seja igual ao ângulo entre x e u4=(1,1,1,1).
Vamos usar:
  • Ortogonalidade iff produto interno zero,
  • Ângulo entre x e u satisfaz costheta = dfracxcdot u|x|;|u|.

Passo 2

Impondo ortogonalidade a u1 e u2:
xcdot u1=x1=0, xcdot u2=x1+x2=0
Como x1=0 da primeira, a segunda dá x2=0. Logo
x=(0,0,x3,x4)

Passo 3

O cosseno do ângulo entre x e u3 é
costheta3 =xcdot u3|x|;|u3| =0+0+x3+0|x|;raiz3 =x3|x|;raiz3
Já entre x e u4 fica
costheta4 =xcdot u4|x|;|u4| =0+0+x3+x4|x|;2 =x3+x42,|x|

Passo 4

Igualamos costheta3=costheta4, cancelando |x|neq0:
x3raiz3 =x3+x42 ;Longrightarrow; 2,x3=raiz3,(x3+x4) ;Longrightarrow; (2-raiz3),x3=raiz3,x4
Assim
x4 =2-raiz3raiz3,x3

Passo 5

Portanto todo vetor x que satisfaz as condições é da forma
x =l(0,0,x3,x4r) =l(0,0,t,2-raiz3raiz3,tr),
com tinR.

Resposta

boxedl(0,0,t,tfrac2-raiz3raiz3,t)mid tinRr

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