Dados os vetores e , escrever cada um deles como combinação linear dos outros três. Ou ainda, represente cada um deles na base formada pelos outros três.
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em : , , e ,
e pede para expressar cada um como combinação linear dos outros três.
O método geral é admitir, por exemplo,
e igualar componente a componente, gerando um sistema linear em . Faremos isso para cada vetor.
Passo 2
Expressão de
Componentes:
logo o sistema é
Eliminando obtemos
Portanto
Passo 3
Expressão de vec b em função de vec a,vec c,vec d.
Suponha
vec b = x,vec a + y,vec c + z,vec d
Componentes:
(1,-1,2) = x(2,1,0) + y(2,2,-1) + z(3,7,-7),
o que dá
2x + 2y + 3z = 1, x + 2y + 7z = -1, -,y - 7z = 2
Resolvendo:
z = -tfrac13, y = tfrac13, x = tfrac23
Logo
vec b = tfrac23,vec a + tfrac13,vec c - tfrac13,vec d
Passo 4
Expressão de vec c em função de vec a,vec b,vec d.
Suponha
vec c = x,vec a + y,vec b + z,vec d
Componentes:
(2,2,-1) = x(2,1,0) + y(1,-1,2) + z(3,7,-7),
levando a
2x + y + 3z = 2, x - y + 7z = 2, 2y - 7z = -1
Resolvendo:
z = 1, y = 3, x = -2
Assim
vec c = -2,vec a + 3,vec b + vec d
Passo 5
Expressão de vec d em função de vec a,vec b,vec c.
Suponha
vec d = x,vec a + y,vec b + z,vec c
Componentes:
(3,7,-7) = x(2,1,0) + y(1,-1,2) + z(2,2,-1),
que dá
2x + y + 2z = 3, x - y + 2z = 7, 2y - z = -7
Resolvendo:
y = -3, z = 1, x = 2
Portanto
vec d = 2,vec a - 3,vec b + vec c
Resposta
vec a = tfrac32,vec b - tfrac12,vec c + tfrac12,vec d vec b = tfrac23,vec a + tfrac13,vec c - tfrac13,vec d vec c = -2,vec a + 3,vec b + vec d vec d = 2,vec a - 3,vec b + vec c