Dados os vetores a=(2,1,0), b=(1,-1,2), c=(2,2,-1) e d=(3,7,-7), escrever cada um deles como combinação linear dos outros três. Ou ainda, represente cada um deles na base formada pelos outros três.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3:
vec a=(2,1,0), vec b=(1,-1,2), vec c=(2,2,-1) e vec d=(3,7,-7),
e pede para expressar cada um como combinação linear dos outros três.
O método geral é admitir, por exemplo,
vec a = x,vec b + y,vec c + z,vec d
e igualar componente a componente, gerando um sistema linear em x,y,z. Faremos isso para cada vetor.

Passo 2

Expressão de
Componentes:
logo o sistema é
Eliminando obtemos
Portanto

Passo 3

Expressão de vec b em função de vec a,vec c,vec d.
Suponha
vec b = x,vec a + y,vec c + z,vec d
Componentes:
(1,-1,2) = x(2,1,0) + y(2,2,-1) + z(3,7,-7),
o que dá
2x + 2y + 3z = 1, x + 2y + 7z = -1, -,y - 7z = 2
Resolvendo:
z = -tfrac13, y = tfrac13, x = tfrac23
Logo
vec b = tfrac23,vec a + tfrac13,vec c - tfrac13,vec d

Passo 4

Expressão de vec c em função de vec a,vec b,vec d.
Suponha
vec c = x,vec a + y,vec b + z,vec d
Componentes:
(2,2,-1) = x(2,1,0) + y(1,-1,2) + z(3,7,-7),
levando a
2x + y + 3z = 2, x - y + 7z = 2, 2y - 7z = -1
Resolvendo:
z = 1, y = 3, x = -2
Assim
vec c = -2,vec a + 3,vec b + vec d

Passo 5

Expressão de vec d em função de vec a,vec b,vec c.
Suponha
vec d = x,vec a + y,vec b + z,vec c
Componentes:
(3,7,-7) = x(2,1,0) + y(1,-1,2) + z(2,2,-1),
que dá
2x + y + 2z = 3, x - y + 2z = 7, 2y - z = -7
Resolvendo:
y = -3, z = 1, x = 2
Portanto
vec d = 2,vec a - 3,vec b + vec c

Resposta

vec a = tfrac32,vec b - tfrac12,vec c + tfrac12,vec d
vec b = tfrac23,vec a + tfrac13,vec c - tfrac13,vec d
vec c = -2,vec a + 3,vec b + vec d
vec d = 2,vec a - 3,vec b + vec c

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