Um sistema suspenso por cabos ancora uma escora de um telhado. Esse sistema suspenso tem 5 pontos fixados em paredes e 2 pontos de transição dos cabos. As coordenadas cartesianas de cada nó em metro do sistema é:
Nó A (3.4, 1, 0), este nó está conectado somente ao no B por um cabo.
Nó B (2, 1, 0), este nó está conectado ao nó A e aos nós C, D e E.
Nó C (2.2, 0, 1), este nó está conectado ao nó B somente.
Nó D (2.2, 0, -1), este nó está conectado ao nó B somente.
Nó E (1, 1.2, 0), este nó está conectado ao nó B e aos nós F e G .
Nó F (0, 1.4, 1.2), este nó está conectado ao nó E somente.
Nó G (0, 1.4, -1.2), este nó está conectado ao nó E somente.
Se a tração no cabo AB é 20 kN . Determine as forças nos outros cabos (Resolva o sistema algébrico utilizando o método de Jacobi à mão utilizando 7 iterações).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de cabos que sustenta uma escora no telhado, com vários nós conectados por cabos. A questão quer que a gente descubra as forças nos cabos, sabendo que o cabo AB tem uma tração de 20 kN. Para resolver isso, vamos usar o Método de Jacobi, que é um jeito de resolver sistemas de equações de forma iterativa. Vamos precisar entender um pouco de estática e álgebra linear para isso!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os cabos e as forças que queremos encontrar. Temos os nós A, B, C, D, E, F e G conectados de uma certa maneira. Sabemos que a força no cabo AB é 20 kN. Vamos chamar as forças nos outros cabos de FBC , FBD , FBE , FEF e FEG . Nosso objetivo é encontrar esses valores.

Passo 3

Agora, precisamos escrever as equações de equilíbrio para cada nó. Na estática, um nó está em equilíbrio quando a soma das forças que atuam sobre ele é zero. Vamos considerar as forças em cada direção (x, y, z). Vamos começar pelo nó B, que está conectado a A, C, D e E.

Passo 4

Para o nó B, temos as forças dos cabos AB, BC, BD e BE atuando. Vamos decompor essas forças nas direções x, y e z usando as coordenadas dos nós.
As coordenadas:
  • Nó A: (3.4, 1, 0)
  • Nó B: (2, 1, 0)
  • Nó C: (2.2, 0, 1)
  • Nó D: (2.2, 0, -1)
  • Nó E: (1, 1.2, 0)
Vamos calcular os vetores diretores para cada cabo conectado a B.

Passo 5

Vamos calcular os vetores diretores:
  1. Cabo BA: De B (2,1,0) para A (3.4,1,0)
BA = (3.4-2, 1-1, 0-0) = (1.4, 0, 0)
  1. Cabo BC: De B (2,1,0) para C (2.2,0,1)
BC = (2.2-2, 0-1, 1-0) = (0.2, -1, 1)
  1. Cabo BD: De B (2,1,0) para D (2.2,0,-1)
BD = (2.2-2, 0-1, -1-0) = (0.2, -1, -1)
  1. Cabo BE: De B (2,1,0) para E (1,1.2,0)
BE = (1-2, 1.2-1, 0-0) = (-1, 0.2, 0)

Passo 6

Agora, vamos normalizar esses vetores para obter os vetores unitários, já que as forças nos cabos agem ao longo desses vetores.
Por exemplo, para BA = (1.4, 0, 0) :
|BA| = raiz1.4^2 + 0^2 + 0^2 = 1.4
BA = ( 1.41.4, 01.4, 01.4 ) = (1, 0, 0)
Fazemos isso para todos os cabos conectados a B.

Passo 7

Depois de normalizar todos os vetores, podemos escrever as equações de equilíbrio para o nó B nas direções x, y e z:
sum Fx = 0: FBA cdot 1 + FBC cdot 0.2 + FBD cdot 0.2 + FBE cdot (-1) = 0
sum Fy = 0: FBA cdot 0 + FBC cdot (-1) + FBD cdot (-1) + FBE cdot 0.2 = 0
sum Fz = 0: FBA cdot 0 + FBC cdot 1 + FBD cdot (-1) + FBE cdot 0 = 0
Sabemos que FBA = 20 kN (dado), então podemos substituir e simplificar as equações.

Passo 8

Substituindo FBA = 20 kN nas equações:
sum Fx: 20 cdot 1 + 0.2FBC + 0.2FBD - FBE = 0 (1)
sum Fy: 0 - FBC - FBD + 0.2FBE = 0 (2)
sum Fz: 0 + FBC - FBD + 0 = 0 (3)
Agora temos um sistema de 3 equações com 3 incógnitas: FBC , FBD , e FBE .

Passo 9

Vamos resolver o sistema usando o Método de Jacobi. Primeiro, precisamos reescrever as equações na forma de x = b - ( outros termos )a .
Das equações:
(1): 0.2FBC + 0.2FBD - FBE = -20
(2): -FBC - FBD + 0.2FBE = 0
(3): FBC - FBD = 0
Da equação (3), podemos ver que FBC = FBD . Vamos chamar essa força de F .

Passo 10

Substituindo FBC = FBD = F na equação (2):
-F - F + 0.2FBE = 0 implies -2F + 0.2FBE = 0
implies 0.2FBE = 2F implies FBE = 10F
Agora, substituímos FBE = 10F na equação (1):
0.2F + 0.2F - 10F = -20
0.4F - 10F = -20
-9.6F = -20 implies F = 209.6 approx 2.083 kN
Então, FBC = FBD approx 2.083 kN e FBE = 10F approx 20.83 kN.

Resposta

As forças nos cabos são aproximadamente:
  • FBC = 2.08 kN
  • FBD = 2.08 kN
  • FBE = 20.83 kN

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