Um sistema suspenso por cabos ancora uma escora de um telhado. Esse sistema suspenso tem 5 pontos fixados em paredes e 2 pontos de transição dos cabos. As coordenadas cartesianas de cada nó em metro do sistema é:
Nó A (3.4, 1, 0), este nó está conectado somente ao no B por um cabo.
Nó B (2, 1, 0), este nó está conectado ao nó A e aos nós C, D e E.
Nó C (2.2, 0, 1), este nó está conectado ao nó B somente.
Nó D (2.2, 0, -1), este nó está conectado ao nó B somente.
Nó E (1, 1.2, 0), este nó está conectado ao nó B e aos nós F e G .
Nó F (0, 1.4, 1.2), este nó está conectado ao nó E somente.
Nó G (0, 1.4, -1.2), este nó está conectado ao nó E somente.
Se a tração no cabo AB é 20 kN . Determine as forças nos outros cabos (Resolva o sistema algébrico utilizando o método de Jacobi à mão utilizando 7 iterações).
Nó A (3.4, 1, 0), este nó está conectado somente ao no B por um cabo.
Nó B (2, 1, 0), este nó está conectado ao nó A e aos nós C, D e E.
Nó C (2.2, 0, 1), este nó está conectado ao nó B somente.
Nó D (2.2, 0, -1), este nó está conectado ao nó B somente.
Nó E (1, 1.2, 0), este nó está conectado ao nó B e aos nós F e G .
Nó F (0, 1.4, 1.2), este nó está conectado ao nó E somente.
Nó G (0, 1.4, -1.2), este nó está conectado ao nó E somente.
Se a tração no cabo AB é 20 kN . Determine as forças nos outros cabos (Resolva o sistema algébrico utilizando o método de Jacobi à mão utilizando 7 iterações).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de cabos que sustenta uma escora no telhado, com vários nós conectados por cabos. A questão quer que a gente descubra as forças nos cabos, sabendo que o cabo AB tem uma tração de 20 kN. Para resolver isso, vamos usar o Método de Jacobi, que é um jeito de resolver sistemas de equações de forma iterativa. Vamos precisar entender um pouco de estática e álgebra linear para isso!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os cabos e as forças que queremos encontrar. Temos os nós A, B, C, D, E, F e G conectados de uma certa maneira. Sabemos que a força no cabo AB é 20 kN. Vamos chamar as forças nos outros cabos de
,
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar esses valores.
Passo 3
Agora, precisamos escrever as equações de equilíbrio para cada nó. Na estática, um nó está em equilíbrio quando a soma das forças que atuam sobre ele é zero. Vamos considerar as forças em cada direção (x, y, z). Vamos começar pelo nó B, que está conectado a A, C, D e E.
Passo 4
Para o nó B, temos as forças dos cabos AB, BC, BD e BE atuando. Vamos decompor essas forças nas direções x, y e z usando as coordenadas dos nós.
As coordenadas:
- Nó A: (3.4, 1, 0)
- Nó B: (2, 1, 0)
- Nó C: (2.2, 0, 1)
- Nó D: (2.2, 0, -1)
- Nó E: (1, 1.2, 0)
Vamos calcular os vetores diretores para cada cabo conectado a B.
Passo 5
Vamos calcular os vetores diretores:
- Cabo BA: De B (2,1,0) para A (3.4,1,0)
- Cabo BC: De B (2,1,0) para C (2.2,0,1)
- Cabo BD: De B (2,1,0) para D (2.2,0,-1)
- Cabo BE: De B (2,1,0) para E (1,1.2,0)
Passo 6
Agora, vamos normalizar esses vetores para obter os vetores unitários, já que as forças nos cabos agem ao longo desses vetores.
Por exemplo, para
:
Fazemos isso para todos os cabos conectados a B.
Passo 7
Depois de normalizar todos os vetores, podemos escrever as equações de equilíbrio para o nó B nas direções x, y e z:
Sabemos que
kN (dado), então podemos substituir e simplificar as equações.
Passo 8
Substituindo
kN nas equações:
Agora temos um sistema de 3 equações com 3 incógnitas:
,
, e
.
Passo 9
Vamos resolver o sistema usando o Método de Jacobi. Primeiro, precisamos reescrever as equações na forma de
.
Das equações:
Da equação (3), podemos ver que
. Vamos chamar essa força de
.
Passo 10
Substituindo
na equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Então,
kN e
kN.
Resposta
As forças nos cabos são aproximadamente:
-
kN -
kN -
kN