Dados os vetores a=3 i, b=2 i+j, calcule o ângulo entre a e b

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores: a = 3 i e b = 2 i + j. A missão aqui é descobrir o ângulo que eles formam entre si. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente o produto escalar, que nos ajuda a encontrar esse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores u = ux i + uy j + uz k e v = vx i + vy j + vz k, o produto escalar é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
No nosso caso, como os vetores estão no plano xy, não tem a componente k.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de a e b. Temos:
a cdot b = (3)(2) + (0)(1) = 6 + 0 = 6
Note que a componente j de a é zero porque a só está na direção i.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor u = ux i + uy j é:
|u| = raizux^2 + uy^2
Vamos calcular para a e b.
Para a:
|a| = raiz3^2 + 0^2 = raiz9 = 3
Para b:
|b| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 5

Com o produto escalar e os módulos dos vetores calculados, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo theta entre eles:
cos theta = a cdot b|a| , |b|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 63 times raiz5 = 63raiz5 = 2raiz5

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo theta tirando o arco cosseno de 2raiz5:
theta = cos^-1( 2raiz5 )
Calculando isso com uma calculadora, temos aproximadamente:
theta approx 26.57^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 26.57^circ.

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