Dados os vetores imath=(1,3) e v=(4,-1) e w=(11,7), determine valores de m e n tal que w=m u+n v.

Passo 1

E aí, tudo bem? O enunciado nos dá os vetores
imath=(1,3), v=(4,-1), w=(11,7)
e pede para encontrar escalares m e n tais que
w ;=; m,imath ;+; n,v
Esse lance é de combinação linear de vetores. Para resolver, a gente lembra que dois vetores são iguais se, e somente se, todas as componentes correspondentes forem iguais. Então vamos montar um sistema de equações para m e n.

Passo 2

Escrevendo a combinação em coordenadas, fica:
(11,7) ;=; m,(1,3) ;+; n,(4,-1)
Igualando componente a componente:
  • Componente x:
11 = mcdot1 + ncdot4 Longrightarrow m + 4n = 11
  • Componente y:
7 = mcdot3 + ncdot(-1) Longrightarrow 3m - n = 7
Logo, o sistema é
m + 4n = 11, 3m - n = 7

Passo 3

Vamos usar o método da substituição. Da primeira equação, isolamos m:
m = 11 - 4n
Substituindo na segunda:
3(11 - 4n) - n = 7 Longrightarrow 33 - 12n - n = 7 Longrightarrow 33 - 13n = 7
Aí dá
-13n = 7 - 33 = -26 Longrightarrow n = -26-13 = 2

Passo 4

Com n=2, voltamos em m = 11 - 4n:
m = 11 - 4cdot2 = 11 - 8 = 3
Só pra conferir:
3(1,3) + 2(4,-1) = (3+8,;9-2) = (11,7),
que é justamente w.

Resposta

m = 3, n = 2

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