Determine se o conjunto de vetores de R^2 são LI ou LD:
S=(1,3),(-2,-6),(4,12)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = v1,v2,v3 = (1,3),,(-2,-6),,(4,12)
no espaço R^2 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso vamos usar a definição de dependência linear e o fato sobre a dimensão de R^2.

Passo 2

Definição e argumento de dimensão:
– Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial (isto é, coeficientes nem todos nulos) que gera o vetor nulo.
– Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD, pois não se podem ter mais de n vetores LI.
Aqui dim(R^2)=2 e |S|=3>2. Portanto, por esse argumento, S é LD.

Passo 3

Demonstração explícita de dependência:
Observe que
(-2,-6) = -2,(1,3) e (4,12) = 4,(1,3)
Logo, por exemplo,
(-2),(1,3) ;+; 1,(-2,-6) ;+; 0,(4,12) ;=;(0,0),
e os coeficientes -2 e 1 não são ambos zero. Assim existe combinação não trivial que dá o vetor nulo, confirmando que S é LD.

Passo 4

Concluímos que o conjunto S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente (LD).

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