Determine se o conjunto de vetores de
são LI ou LD:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
no espaço
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso vamos usar a definição de dependência linear e o fato sobre a dimensão de
.
Passo 2
Definição e argumento de dimensão:
– Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial (isto é, coeficientes nem todos nulos) que gera o vetor nulo.
– Em um espaço vetorial de dimensão , qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente LD, pois não se podem ter mais de
vetores LI.
Aqui e
. Portanto, por esse argumento,
é LD.
– Um conjunto de vetores é LD se existe uma combinação linear não trivial (isto é, coeficientes nem todos nulos) que gera o vetor nulo.
– Em um espaço vetorial de dimensão
Aqui
Passo 3
Demonstração explícita de dependência:
Observe que
Observe que
Logo, por exemplo,
e os coeficientes
e
não são ambos zero. Assim existe combinação não trivial que dá o vetor nulo, confirmando que
é LD.
Passo 4
Concluímos que o conjunto
é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente (LD).