Dados os vetores A=imath+4 jmath-5 k, B=3 imath-2 jmath-3 k e C=4 imath-2 jmath- 3 k.
Determine:
e) A expressão cartesiana do unitário paralelo à resultante entre A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu três vetores: A, B e C. A tarefa é encontrar a expressão cartesiana do vetor unitário que está na direção da resultante do produto vetorial entre A e B, ou seja, A times B. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial A times B. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A gente pode calcular isso usando a regra do determinante:
A = imath + 4,jmath - 5,k
B = 3,imath - 2,jmath - 3,k
Então,
A times B = imath & jmath & k 1 & 4 & -5 3 & -2 & -3
Calculando o determinante:
A times B = imath cdot (4 times (-3) - (-5) times (-2)) - jmath cdot (1 times (-3) - (-5) times 3) + k cdot (1 times (-2) - 4 times 3)
= imath cdot (-12 - 10) - jmath cdot (-3 + 15) + k cdot (-2 - 12)
= -22,imath - 12,jmath - 14,k
Então, temos:
A times B = -22,imath - 12,jmath - 14,k

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor unitário na direção de A times B. Para isso, precisamos calcular a magnitude (ou módulo) de A times B e depois dividir cada componente do vetor pelo seu módulo.
A fórmula para a magnitude de um vetor V = x,imath + y,jmath + z,k é:
|V| = raizx^2 + y^2 + z^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|A times B| = raiz(-22)^2 + (-12)^2 + (-14)^2 = raiz484 + 144 + 196 = raiz824 approx 28,71

Passo 4

Com a magnitude calculada, podemos agora obter o vetor unitário dividindo cada componente de A times B por 28,71:
Vetor unitário = -2228,71,imath + -1228,71,jmath + -1428,71,k á
approx -0,766,imath - 0,418,jmath - 0,487,k

Resposta

A expressão cartesiana do vetor unitário paralelo à resultante entre A times B é aproximadamente -0,766,imath - 0,418,jmath - 0,487,k.

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