Dois blocos de massas m1 e m2, inicialmente em repouso, estão presos a um fio inextensível que passa por uma polia de massa M e raio R, conforme Figura 2 abaixo. Despreze o atrito no movimento do bloco e da polia e a massa do fio. Calcule a aceleração dos blocos e as tensões nos fios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois blocos com massas m1 e m2 ligados por um fio que passa por uma polia com massa M e raio R. Tudo começa parado, sem atrito nem resistência. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração dos blocos quando eles começam a se mover e quais são as tensões no fio. Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton do movimento e um pouco de física das rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada bloco e na polia. No bloco m1, temos a força da gravidade puxando para baixo, que é m1g, e a tensão do fio puxando para cima, que chamaremos de T1. No bloco m2, igualmente, a gravidade m2g puxa para baixo e a tensão T2 puxa para cima.

Passo 3

Agora, para a polia, que tem massa e, portanto, momento de inércia. Como a polia está girando, a tensão dos fios causa um torque nela. O momento de inércia da polia é I = 12MR^2 (porque é uma polia circular sólida). O torque total na polia é dado por (T2 - T1)R, e isso está relacionado com a aceleração angular alpha pela equação: (T2 - T1)R = Ialpha.

Passo 4

Sabemos que a aceleração linear a dos blocos está relacionada com a aceleração angular da polia pela equação a = alpha R. Assim, podemos reescrever a equação do torque como (T2 - T1)R = 12MR^2 cdot aR, o que simplifica para T2 - T1 = 12Ma.

Passo 5

Vamos agora aplicar a segunda lei de Newton para cada bloco. Para o bloco m1:
m1g - T1 = m1a
E para o bloco m2:
T2 - m2g = m2a

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações:
  1. T2 - T1 = 12Ma
  2. m1g - T1 = m1a
  3. T2 - m2g = m2a
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, T1 e T2.

Passo 7

Primeiro, da equação 2, podemos isolar T1:
T1 = m1g - m1a
Da equação 3, isolamos T2:
T2 = m2g + m2a

Passo 8

Substituímos T1 e T2 na equação 1:
(m2g + m2a) - (m1g - m1a) = 12Ma
Simplificando:
m2g + m2a - m1g + m1a = 12Ma

Passo 9

Agrupando os termos com a:
(m2 + m1)a = 12Ma + m1g - m2g
Rearranjando:
(m2 + m1 - 12M)a = (m1 - m2)g

Passo 10

Isolando a:
a = (m1 - m2)gm1 + m2 - 12M

Passo 11

Agora que temos a aceleração, podemos substituir esse valor nas expressões que encontramos para T1 e T2:
T1 = m1g - m1a
T2 = m2g + m2a

Passo 12

Então, resumindo:
  • A aceleração dos blocos é:
a = (m1 - m2)gm1 + m2 - 12M
  • As tensões nos fios são:
T1 = m1g - m1a
T2 = m2g + m2a

Resposta

A aceleração dos blocos é dada por:
a = (m1 - m2)gm1 + m2 - 12M
As tensões nos fios são:
T1 = m1g - m1a
T2 = m2g + m2a

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