Dois blocos de massas
e
, inicialmente em repouso, estão presos a um fio inextensível que passa por uma polia de massa
e raio
, conforme Figura 2 abaixo. Despreze o atrito no movimento do bloco e da polia e a massa do fio. Calcule a aceleração dos blocos e as tensões nos fios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois blocos com massas
e
ligados por um fio que passa por uma polia com massa
e raio
. Tudo começa parado, sem atrito nem resistência. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração dos blocos quando eles começam a se mover e quais são as tensões no fio. Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton do movimento e um pouco de física das rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada bloco e na polia. No bloco
, temos a força da gravidade puxando para baixo, que é
, e a tensão do fio puxando para cima, que chamaremos de
. No bloco
, igualmente, a gravidade
puxa para baixo e a tensão
puxa para cima.
Passo 3
Agora, para a polia, que tem massa e, portanto, momento de inércia. Como a polia está girando, a tensão dos fios causa um torque nela. O momento de inércia da polia é
(porque é uma polia circular sólida). O torque total na polia é dado por
, e isso está relacionado com a aceleração angular
pela equação:
.
Passo 4
Sabemos que a aceleração linear
dos blocos está relacionada com a aceleração angular da polia pela equação
. Assim, podemos reescrever a equação do torque como
, o que simplifica para
.
Passo 5
Vamos agora aplicar a segunda lei de Newton para cada bloco. Para o bloco
:
E para o bloco
:
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
e
.
Passo 7
Primeiro, da equação 2, podemos isolar
:
Da equação 3, isolamos
:
Passo 8
Substituímos
e
na equação 1:
Simplificando:
Passo 9
Agrupando os termos com
:
Rearranjando:
Passo 10
Isolando
:
Passo 11
Agora que temos a aceleração, podemos substituir esse valor nas expressões que encontramos para
e
:
Passo 12
Então, resumindo:
- A aceleração dos blocos é:
- As tensões nos fios são:
Resposta
A aceleração dos blocos é dada por:
As tensões nos fios são: