Mostrar que os vetores
,
e
são coplanares e expressar o vetor
como uma combinação linear de
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de vetores coplanares. A pergunta quer que a gente mostre que os vetores
,
e
estão no mesmo plano (coplanares). Além disso, precisamos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Dizemos que
é uma combinação linear de
e
se existirem números reais
e
tais que:
Nosso objetivo é encontrar esses valores de
e
.
Passo 3
Vamos escrever cada vetor em forma de coordenadas para facilitar. Considerando que
,
e
são os eixos
,
e
, respectivamente, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essas coordenadas na equação da combinação linear:
Isso resulta em um sistema de equações:
-
(componente ) -
(componente ) -
(componente )
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Terceira Equação:
Vamos verificar se os valores encontrados satisfazem a terceira equação.
Que é igual a
, confirmando que está tudo certo.
Resposta
Os vetores
,
e
são coplanares e o vetor
pode ser expresso como uma combinação linear de
e
da seguinte forma: