Mostrar que os vetores A=2 imath+k, B=3 jmath+4 k e C=8 imath-3 J são coplanares e expressar o vetor C como uma combinação linear de A e B.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um problema de vetores coplanares. A pergunta quer que a gente mostre que os vetores A=2 imath+k, B=3 jmath+4 k e C=8 imath-3 jmath estão no mesmo plano (coplanares). Além disso, precisamos expressar o vetor C como uma combinação linear dos vetores A e B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Dizemos que C é uma combinação linear de A e B se existirem números reais x e y tais que:
C = xA + yB
Nosso objetivo é encontrar esses valores de x e y.

Passo 3

Vamos escrever cada vetor em forma de coordenadas para facilitar. Considerando que imath, jmath e k são os eixos x, y e z, respectivamente, temos:
  • A = 2imath + 0jmath + 1k = (2, 0, 1)
  • B = 0imath + 3jmath + 4k = (0, 3, 4)
  • C = 8imath - 3jmath + 0k = (8, -3, 0)

Passo 4

Agora, substituímos essas coordenadas na equação da combinação linear:
(8, -3, 0) = x(2, 0, 1) + y(0, 3, 4)
Isso resulta em um sistema de equações:
  1. 2x + 0y = 8 (componente x)
  2. 0x + 3y = -3 (componente y)
  3. x + 4y = 0 (componente z)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira Equação:
2x = 8 Rightarrow x = 82 = 4
Segunda Equação:
3y = -3 Rightarrow y = -33 = -1
Terceira Equação:
Vamos verificar se os valores encontrados satisfazem a terceira equação.
x + 4y = 4 + 4(-1) = 4 - 4 = 0
Que é igual a 0, confirmando que está tudo certo.

Resposta

Os vetores A, B e C são coplanares e o vetor C pode ser expresso como uma combinação linear de A e B da seguinte forma:
C = 4,A - 1,B

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