Dados os vetores a=(2, m,-1), b=(1,-2,1) e c=(1,-1,2). Calcular o valor de X para que o volume do paralelepípedo determinado por a, b e c seja igual a 9 u.v. (unidades de volume).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
a=(2,m,-1), b=(1,-2,1) e c=(1,-1,2). Pede o valor de m (chamado de X no enunciado) tal que o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores seja 9. O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto
V = l|acdot(btimesc)r|

Passo 2

Vamos primeiro calcular o produto vetorial btimesc. Pela regra de Sarrus ou determinante 3times 3,
btimesc = i & j & k 1 & -2 & 1 1 & -1 & 2 = l((-2)cdot2 - 1cdot(-1)r),i - l(1cdot2 - 1cdot1r),j + l(1cdot(-1) - (-2)cdot1r),k
Calculando cada componente:
(-2)cdot2 - 1cdot(-1) = -4 +1 = -3,
1cdot2 - 1cdot1 = 2 -1 = 1,
1cdot(-1) - (-2)cdot1 = -1 +2 = 1
Então
btimesc=(-3,,-1,,1)

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar acdot(btimesc):
acdot(btimesc) = (2,m,-1)cdot(-3,-1,1) =2cdot(-3)+mcdot(-1)+(-1)cdot1 =-6 - m -1 = -7 - m

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto desse resultado:
V = l|,-7 - mr| = |m+7|
Queremos V=9, ou seja,
|m+7| = 9
Isso gera duas equações:
m+7 = 9 Longrightarrow m = 2,
m+7 = -9 Longrightarrow m = -16

Resposta

Os valores de X (isto é, de m) que dão volume igual a 9 são
X = 2 ou X = -16

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